Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(g)
(obs:
, para todo
)
(g)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é diferente dependendo do valor de
. Para
, a função é
, e para
, ela vale 1. A pergunta é dizer se essa função é contínua e se é derivável no ponto
. Vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é contínua em
. Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de 0 precisa ser igual ao valor de
.
Passo 3
Calculando o limite de
quando
se aproxima de 0:
Esse limite é um resultado clássico e sabemos que ele é igual a 1.
Passo 4
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 é 1, e
, a função
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é derivável em
. Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
Passo 6
Substituindo
e
, temos:
Passo 7
Precisamos resolver o limite:
Usamos a expansão em série de Taylor para
:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Quando
tende a 0, os termos com
desaparecem, então o limite é 0.
Passo 9
Como o limite existe e é igual a 0, a função
é derivável em
, e a derivada nesse ponto é 0.
Resposta
A função
é contínua e derivável no ponto
, com derivada igual a 0.