Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_0, sendo:
(g) f(x) = { sen(x)/x , se x ≠ 0 ; 1 , se x = 0 }
x0 = 0 (obs: cos(x) < sen(x)/x < 1, para todo x ∈ ]-pi/2, pi/2[ \ {0} )

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é diferente dependendo do valor de . Para , a função é , e para , ela vale 1. A pergunta é dizer se essa função é contínua e se é derivável no ponto . Vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é contínua em . Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 0 precisa ser igual ao valor de .

Passo 3

Calculando o limite de quando se aproxima de 0:
Esse limite é um resultado clássico e sabemos que ele é igual a 1.

Passo 4

Como o limite de quando se aproxima de 0 é 1, e , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se é derivável em . Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:

Passo 6

Substituindo e , temos:

Passo 7

Precisamos resolver o limite:
Usamos a expansão em série de Taylor para :
Substituindo na expressão:

Passo 8

Quando tende a 0, os termos com desaparecem, então o limite é 0.

Passo 9

Como o limite existe e é igual a 0, a função é derivável em , e a derivada nesse ponto é 0.

Resposta

A função é contínua e derivável no ponto , com derivada igual a 0.

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