Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(g) (obs: , para todo )
Passo 1
Então, a gente tem uma função que é diferente dependendo do valor de . Para , a função é , e para , ela vale 1. A pergunta é dizer se essa função é contínua e se é derivável no ponto . Vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se é contínua em . Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 0 precisa ser igual ao valor de .
Passo 3
Calculando o limite de quando se aproxima de 0:
Esse limite é um resultado clássico e sabemos que ele é igual a 1.
Passo 4
Como o limite de quando se aproxima de 0 é 1, e , a função é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos verificar se é derivável em . Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
Passo 6
Substituindo e , temos:
Passo 7
Precisamos resolver o limite:
Usamos a expansão em série de Taylor para :
Substituindo na expressão:
Passo 8
Quando tende a 0, os termos com desaparecem, então o limite é 0.
Passo 9
Como o limite existe e é igual a 0, a função é derivável em , e a derivada nesse ponto é 0.
Resposta
A função é contínua e derivável no ponto , com derivada igual a 0.