Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=x^2 sen y, x=s^2 t, y=s t.

Passo 1

Vamos resolver este exercício usando a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = x^2 sen y, x = s^2 t, y = s t em relação a e . Temos as seguintes funções:
Precisamos aplicar o conceito de derivadas parciais compostas para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais compostas nos diz que:

Passo 3

Vamos encontrar cada uma das derivadas necessárias:
partial zpartial x = 2x sen y
partial xpartial s = 2s t
partial zpartial y = x^2 cos y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de partial zpartial s = (2x sen y)(2s t) + (x^2 cos y)(t) = 4x s t sen y + x^2 t cos y :
Agora, substituímos partial zpartial s = 4(s^2 t)s t sen(s t) + (s^2 t)^2 t cos(s t) = 4s^3 t^2 sen(s t) + s^4 t^3 cos(s t) :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t também usando a regra da cadeia:

Passo 6

Vamos encontrar as derivadas necessárias:
partial xpartial t = s^2
partial ypartial t = s

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão de partial zpartial t = (2x sen y)(s^2) + (x^2 cos y)(s) = 2x s^2 sen y + s x^2 cos y :
Substituindo partial zpartial t = 2(s^2 t)s^2 sen(s t) + s(s^2 t)^2 cos(s t) = 2s^4 t sen(s t) + s^5 t^2 cos(s t) :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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