Determine o conjunto de pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Isso está ligado ao cálculo multivariável, onde estudamos como as funções se comportam em várias direções ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e ver se essas derivadas são contínuas. Se tudo isso estiver de boa, a função será diferenciável nos pontos considerados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função em relação a
, que a gente chama de
. Como a função é
, a derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, chamada de
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais
e
, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para as expressões das derivadas:
Ambas são funções exponenciais multiplicadas por polinômios em
, e sabemos que funções exponenciais são suaves e contínuas em todo o espaço real. Portanto, as derivadas parciais
e
são contínuas para todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
do plano real
.
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R.: convergente
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