Investigue a convergência das seguintes séries:
sumn=1^+infty(1+n^21+n+n^2)^n^2 cdot R.: convergente

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que investigar se a série sumn=1^+infty(1+n^21+n+n^2)^n^2 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que nos ajudam a determinar se a soma dos termos da série chega a um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, ou seja, an = (1+n^21+n+n^2)^n^2 A gente precisa entender como esse termo se comporta quando fica muito grande (tende ao infinito).

Passo 3

Observando a fração dentro da potência, temos:
1+n^21+n+n^2 = n^2 + 1n^2 + n + 1
Dividindo numerador e denominador por 1 + 1n^21 + 1n + 1n^2, ficamos com:
1 + 01 + 0 + 0 = 1
Quando tende ao infinito, os termos e vão para zero, então a fração se aproxima de:

Passo 4

Agora, vamos considerar a expressão completa an = (1 - nn^2 + n + 1)^n^2. Como vimos que a base da potência tende a 1, precisamos analisar mais de perto como ela se comporta quando é elevada a an approx (1 - 1n)^n^2.
Podemos reescrever:

Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, para entender o limite de limn to infty (1 - 1n)^n = 1e quando limn to infty an = limn to infty (1 - 1n)^n^2 = 0 tende ao infinito, usamos o fato de que:

No nosso caso, a potência é em vez de , então:
Isso porque tende a , e elevando a , temos que tende a zero.

Passo 6

Sabemos que, para uma série 0 <= an = (1+n^21+n+n^2)^n^2 <= (1)^n^2 = 1, se (1 - 1n)^n <= e^-1,, isso é uma condição necessária para a convergência, mas não garante por si só que a série converge. Precisamos aplicar um teste de convergência mais rigoroso.
Vamos usar o Teste da Comparação. Observamos que:
an <= e^-n
Mas isso não é muito útil. Então, vamos tentar comparar com uma série conhecida que converge.
Note que , e sabemos que:

então:
A série é uma série geométrica com razão , que sabemos que converge.

Passo 7

Pelo Teste da Comparação, como e a série converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty(1+n^21+n+n^2)^n^2 é convergente.

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