Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que investigar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que nos ajudam a determinar se a soma dos termos da série chega a um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, ou seja,
A gente precisa entender como esse termo se comporta quando
fica muito grande (tende ao infinito).
Passo 3
Observando a fração dentro da potência, temos:
Dividindo numerador e denominador por
Quando
tende ao infinito, os termos
e
vão para zero, então a fração se aproxima de:
Passo 4
Agora, vamos considerar a expressão completa
. Como vimos que a base da potência tende a 1, precisamos analisar mais de perto como ela se comporta quando é elevada a
.
Podemos reescrever:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, para entender o limite de
quando
tende ao infinito, usamos o fato de que:
No nosso caso, a potência é
Isso porque
tende a
, e elevando a
, temos
que tende a zero.
Passo 6
Sabemos que, para uma série
, se
, isso é uma condição necessária para a convergência, mas não garante por si só que a série converge. Precisamos aplicar um teste de convergência mais rigoroso.
Vamos usar o Teste da Comparação. Observamos que:
Mas isso não é muito útil. Então, vamos tentar comparar com uma série conhecida que converge.
Note que
, e sabemos que:
então:
A série
é uma série geométrica com razão
, que sabemos que converge.
Passo 7
Pelo Teste da Comparação, como
e a série
converge, concluímos que a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Calcule os limites laterais
(m)
(m)
Calcule a integral.
Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente