Determine os pontos da curva interseção do elipsoide
com o plano
mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos onde o elipsoide
intercepta o plano
e, entre esses pontos de interseção, identificar quais são os mais próximos da origem (o ponto
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e otimização, como minimização de distância sujeita a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre o elipsoide e o plano. A interseção desses dois objetos geométricos será uma curva no espaço. Nosso objetivo é encontrar os pontos dessa curva que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos minimizar a distância desses pontos até a origem, considerando que eles devem estar na interseção mencionada.
Passo 3
A distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como queremos minimizar essa distância, podemos minimizar
, já que a função quadrática preserva a ordem de minimização e é mais fácil de trabalhar matematicamente.
Passo 4
Agora, temos duas restrições:
- O ponto está no elipsoide:
- O ponto está no plano:
Para resolver esse problema de minimização com restrições, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Onde
e
são os multiplicadores de Lagrange.
Passo 5
Agora, derivamos a Lagrangiana em relação a
,
,
,
e
e igualamos a zero:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
,
, e
que satisfazem todas as condições.
Passo 6
Após resolver o sistema, encontramos os pontos de interseção mais próximos da origem:
Resposta
Os pontos da curva de interseção mais próximos da origem são:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Exercício 15.2, Questão 2.7: Calcule a integral iterada
.