Determine os pontos da curva interseção do elipsoide x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 1 com o plano x - 4y - z = 0 mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos onde o elipsoide intercepta o plano e, entre esses pontos de interseção, identificar quais são os mais próximos da origem (o ponto ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e otimização, como minimização de distância sujeita a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre o elipsoide e o plano. A interseção desses dois objetos geométricos será uma curva no espaço. Nosso objetivo é encontrar os pontos dessa curva que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos minimizar a distância desses pontos até a origem, considerando que eles devem estar na interseção mencionada.

Passo 3

A distância de um ponto até a origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como queremos minimizar essa distância, podemos minimizar , já que a função quadrática preserva a ordem de minimização e é mais fácil de trabalhar matematicamente.

Passo 4

Agora, temos duas restrições:
  1. O ponto está no elipsoide:
  2. O ponto está no plano:
Para resolver esse problema de minimização com restrições, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Onde e são os multiplicadores de Lagrange.

Passo 5

Agora, derivamos a Lagrangiana em relação a , , , e e igualamos a zero:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de , , e que satisfazem todas as condições.

Passo 6

Após resolver o sistema, encontramos os pontos de interseção mais próximos da origem:

Resposta

Os pontos da curva de interseção mais próximos da origem são:

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