Determine o conjunto dos pontos onde a função é contínua. Após, determine o conjunto de pontos onde a função é descontínua e conclua se a função é contínua ou não.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir onde a função é contínua e onde ela não é. A função é definida por partes, ou seja, tem diferentes expressões para diferentes intervalos de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Também vamos usar limites, que nos ajudam a ver o comportamento da função perto de pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada parte da função e verificar se cada expressão é contínua no intervalo em que está definida.
Para :
A função é . Sabemos que a função logarítmica é contínua para . Aqui, quando , que é exatamente o intervalo que temos. Então, é contínua nesse intervalo.
Para :
A função é . A tangente ao quadrado, , é contínua onde está definida, ou seja, para . No intervalo , está tudo tranquilo. Também, nesse intervalo, então a divisão por não dá problema. Portanto, essa expressão é contínua nesse intervalo.
Para :
A função é . A exponencial e a soma com 1 são operações contínuas, e o denominador nunca é zero porque . Assim, essa expressão é contínua nesse intervalo.
Para :
A função é . Uma constante é sempre contínua.
Para :
A função é . A função cosseno é contínua para todos os reais, então essa expressão também é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora que vimos que cada expressão é contínua nos seus respectivos intervalos, precisamos verificar os pontos de transição, onde a função muda de uma expressão para outra. Esses pontos são .
Vamos analisar cada um deles:
Em :
A função não está definida exatamente em , pois o primeiro intervalo é aberto em . Então, não precisamos nos preocupar com a continuidade aqui.
Em :
Aqui, temos duas expressões:
Para , .
Para , .
Para , .
Vamos ver se :
.
.
E . Então, os limites são iguais e iguais ao valor da função. Logo, é contínua em .
Em :
Aqui, temos:
Para , .
Para , .
Vamos calcular os limites:
. Sabemos que tende ao infinito quando se aproxima de , então esse limite é .
.
Os limites laterais não são iguais (um vai para o infinito e o outro para ), então há um salto em . Isso significa que é descontínua nesse ponto.
Em :
A função muda de:
Para , .
Para , .
Vamos calcular os limites:
.
.
Novamente, os limites laterais são diferentes ( e ), o que indica um salto em . Assim, é descontínua nesse ponto.
Passo 4
Resumindo tudo o que vimos:
A função é contínua em todos os intervalos onde cada expressão está definida.
Nos pontos de transição e , a função tem saltos, ou seja, é descontínua.
Em outros pontos, como , a função não está definida, mas isso não afeta a continuidade no restante do domínio.
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, exceto nos pontos e , onde apresenta descontinuidades do tipo salto. Portanto, não é contínua em todo o seu domínio.