Determine o conjunto dos pontos onde a função é contínua. Após, determine o conjunto de pontos onde a função é descontínua e conclua se a função é contínua ou não.
f(x)=llc ln (x+1) & se & -1pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir onde a função é contínua e onde ela não é. A função é definida por partes, ou seja, tem diferentes expressões para diferentes intervalos de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Também vamos usar limites, que nos ajudam a ver o comportamento da função perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da função e verificar se cada expressão é contínua no intervalo em que está definida.
  1. Para :
    A função é . Sabemos que a função logarítmica é contínua para . Aqui, quando , que é exatamente o intervalo que temos. Então, é contínua nesse intervalo.
  2. Para :
    A função é . A tangente ao quadrado, , é contínua onde está definida, ou seja, para . No intervalo , está tudo tranquilo. Também, nesse intervalo, então a divisão por não dá problema. Portanto, essa expressão é contínua nesse intervalo.
  3. Para :
    A função é . A exponencial e a soma com 1 são operações contínuas, e o denominador nunca é zero porque . Assim, essa expressão é contínua nesse intervalo.
  4. Para :
    A função é . Uma constante é sempre contínua.
  5. Para :
    A função é . A função cosseno é contínua para todos os reais, então essa expressão também é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora que vimos que cada expressão é contínua nos seus respectivos intervalos, precisamos verificar os pontos de transição, onde a função muda de uma expressão para outra. Esses pontos são .
Vamos analisar cada um deles:
  1. Em :
    A função não está definida exatamente em , pois o primeiro intervalo é aberto em . Então, não precisamos nos preocupar com a continuidade aqui.
  2. Em :
    Aqui, temos duas expressões:
    • Para , .
    • Para , .
    • Para , .
    Vamos ver se :
    • .
    • .
    E . Então, os limites são iguais e iguais ao valor da função. Logo, é contínua em .
  3. Em :
    Aqui, temos:
    • Para , .
    • Para , .
    Vamos calcular os limites:
    • . Sabemos que tende ao infinito quando se aproxima de , então esse limite é .
    • .
    Os limites laterais não são iguais (um vai para o infinito e o outro para ), então há um salto em . Isso significa que é descontínua nesse ponto.
  4. Em :
    A função muda de:
    • Para , .
    • Para , .
    Vamos calcular os limites:
    • .
    • .
    Novamente, os limites laterais são diferentes ( e ), o que indica um salto em . Assim, é descontínua nesse ponto.

Passo 4

Resumindo tudo o que vimos:
  • A função é contínua em todos os intervalos onde cada expressão está definida.
  • Nos pontos de transição e , a função tem saltos, ou seja, é descontínua.
  • Em outros pontos, como , a função não está definida, mas isso não afeta a continuidade no restante do domínio.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto nos pontos e , onde apresenta descontinuidades do tipo salto. Portanto, não é contínua em todo o seu domínio.

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