Resolva as integrais: integral raizx-2x+1 d x

Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral . Isso está no campo do cálculo, especificamente em técnicas de integração que envolvem substituições. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para simplificar a expressão e facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais fácil de trabalhar. Vamos chamar u = raizx - 2 . Assim, temos:
du = 12raizx - 2 , dx
Para achar dx = 2u , du , diferenciamos ambos os lados em relação a :
Podemos reorganizar essa expressão para isolar :

Passo 3

Agora, substituímos integral raizx-2x+1 , dx = integral ux + 1 cdot 2u , du = 2 integral u^2x + 1 , du e x = u^2 + 2 na integral original:
2 integral u^2u^2 + 2 + 1 , du = 2 integral u^2u^2 + 3 , du
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
u^2u^2 + 3 = 1 - 3u^2 + 3
Assim, a integral fica:
2 integral (1 - 3u^2 + 3) , du = 2 integral 1 , du - 6 integral 1u^2 + 3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
2 integral 1 , du = 2u + C
-6 integral 1u^2 + 3 , du = -6 cdot 1raiz3 tan^-1(uraiz3) + C
Juntando tudo:
2u - 2raiz3 tan^-1(uraiz3) + C

Passo 6

Finalmente, substituímos 2raizx - 2 - 2raiz3 tan^-1(raizx - 2raiz3) + C de volta em termos de . Lembrando que :

Resposta

A integral 2raizx - 2 - 2raiz3 tan^-1(raizx - 2raiz3) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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