Responda as seguintes questões:
© y1(x) = e^(4 x) e y2(x) = x * e^(4 * x) formam um conjunto fundamental de soluções para y'' - 4y' + 4y = 0 ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , e queremos saber se elas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial .
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de soluções fundamentais.
O que vamos precisar:
  1. Verificar se ambas as funções são soluções da equação diferencial dada.
  2. Verificar se essas soluções são linearmente independentes, o que pode ser feito usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se e são de fato soluções da equação diferencial .
Passo 2.1: Calculando as derivadas de .
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Parece que há um erro aqui. Vamos recalcular as derivadas corretamente.
Correção:
Substituindo na EDO:
Parece que houve uma confusão. Na verdade, é uma solução da equação homogênea , não da equação dada. Portanto, devemos reconsiderar.

Passo 3

Vamos recalcular corretamente para a equação .
Para :
Substituindo na EDO:
Parece que houve uma inconsistência novamente. Vamos verificar a equação característica.
Equação característica da EDO :
Resolvendo:
Raiz dupla . Portanto, as soluções gerais são:
Comparando com as funções dadas na questão ( e ), percebemos que elas não são soluções da equação diferencial correta. Portanto, as funções fornecidas não formam um conjunto fundamental de soluções para a EDO dada.

Resposta

Não, as funções e não formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial , pois elas não satisfazem a equação diferencial proposta.

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