Responda as seguintes questões:
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e
formam um conjunto fundamental de soluções para
?
©
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, e queremos saber se elas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
.
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de soluções fundamentais.
O que vamos precisar:
- Verificar se ambas as funções são soluções da equação diferencial dada.
- Verificar se essas soluções são linearmente independentes, o que pode ser feito usando o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são de fato soluções da equação diferencial
.
Passo 2.1: Calculando as derivadas de
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Parece que há um erro aqui. Vamos recalcular as derivadas corretamente.
Correção:
Substituindo na EDO:
Parece que houve uma confusão. Na verdade,
é uma solução da equação homogênea
, não da equação dada. Portanto, devemos reconsiderar.
Passo 3
Vamos recalcular corretamente para a equação
.
Para
:
Substituindo na EDO:
Parece que houve uma inconsistência novamente. Vamos verificar a equação característica.
Equação característica da EDO
:
Resolvendo:
Raiz dupla
. Portanto, as soluções gerais são:
Comparando com as funções dadas na questão (
e
), percebemos que elas não são soluções da equação diferencial correta. Portanto, as funções fornecidas não formam um conjunto fundamental de soluções para a EDO dada.
Resposta
Não, as funções
e
não formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
, pois elas não satisfazem a equação diferencial proposta.