Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observe que temos
multiplicando . Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 3
Com a substituição
e
, nossa integral fica:
Agora, precisamos integrar em relação a
.
Passo 4
Para integrar , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de . Sabemos que:
Substituindo essa identidade na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos distribuir o
dentro dos colchetes:
A primeira integral é simples, e para a segunda, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 6
Vamos resolver a primeira parte:
Agora, para a segunda parte,
, aplicamos a integração por partes onde:
Então, derivando e integrando:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
A integral restante é:
Portanto:
Passo 8
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.