Resolva as integrais: integral(x+1) sen(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observe que temos multiplicando . Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Com a substituição integral u cdot sen^2(u) , du e , nossa integral fica:
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 4

Para integrar , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de . Sabemos que:
Substituindo essa identidade na integral, temos:
sen^2(u) = 1 - cos(2u)2

Passo 5

Agora, vamos distribuir o 12 integral u , du - 12 integral u cdot cos(2u) , du dentro dos colchetes:
A primeira integral é simples, e para a segunda, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 6

Vamos resolver a primeira parte:
12 integral u , du = 12 cdot u^22 = u^24
Agora, para a segunda parte, v = u dw = cos(2u) , du , aplicamos a integração por partes onde:
dv = du w = sen(2u)2
Então, derivando e integrando:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u cdot cos(2u) , du = u cdot sen(2u)2 - integral sen(2u)2 cdot du :
Simplificando:
A integral restante é:
Portanto:

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos (x+1)^24 - (x+1) cdot sen(2(x+1))4 - cos(2(x+1))8 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
onde (x+1)^24 - (x+1) cdot sen(2(x+1))4 - cos(2(x+1))8 + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados