Seja
Mostre que é diferenciável em .

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é mostrar que essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como limites e derivadas parciais. A gente vai precisar verificar se a função é contínua em e se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares ou considerar diferentes caminhos. Vamos observar que, independentemente do caminho que escolhermos, o limite tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais são como as inclinações da função nas direções dos eixos e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a em :
Substituindo:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a em :
Substituindo:
Então,

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos agora construir a aproximação linear da função em . A aproximação linear é dada por:
Para que seja diferenciável em , o limite:
deve valer 0.

Passo 5

Vamos calcular esse limite:
Podemos observar que o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador , o que faz com que o limite seja 0.

Resposta

Portanto, é diferenciável em .

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Seja
é diferenciável em ?
Seja
é contínua em ?
Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável:
Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável: