Seja
Mostre que
é diferenciável em
.
Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida por partes:
O objetivo aqui é mostrar que essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como limites e derivadas parciais. A gente vai precisar verificar se a função é contínua em
e se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0.
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares ou considerar diferentes caminhos. Vamos observar que, independentemente do caminho que escolhermos, o limite tende a 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são como as inclinações da função nas direções dos eixos
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
em
:
Substituindo:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a
em
:
Substituindo:
Então,
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, vamos agora construir a aproximação linear da função
em
. A aproximação linear é dada por:
Para que
seja diferenciável em
, o limite:
deve valer 0.
Passo 5
Vamos calcular esse limite:
Podemos observar que o numerador
tende a 0 mais rápido que o denominador
, o que faz com que o limite seja 0.
Resposta
Portanto,
é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Seja
é diferenciável em
?
Seja
é contínua em
?
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável: