Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos no plano
onde a função
não é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas forem contínuas por perto. Então, nosso objetivo é verificar onde as derivadas parciais de
existem e são contínuas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Usaremos a regra da cadeia para isso. Para derivar
, temos:
E de forma similar para
:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde essas derivadas podem não existir ou não ser contínuas. Olhando para as expressões das derivadas, percebemos que o denominador
é problemático quando
e
, porque aí ele se torna zero, e não podemos dividir por zero.
Passo 5
Então, no ponto
, as derivadas parciais de
não estão definidas, já que teríamos uma divisão por zero. Isso significa que a função
não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável apenas no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que é diferenciável em
.
Mostre que
Seja
é diferenciável em
?
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Use
para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):