Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos no plano onde a função não é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas forem contínuas por perto. Então, nosso objetivo é verificar onde as derivadas parciais de existem e são contínuas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Usaremos a regra da cadeia para isso. Para derivar , temos:
E de forma similar para :

Passo 4

Agora, vamos analisar onde essas derivadas podem não existir ou não ser contínuas. Olhando para as expressões das derivadas, percebemos que o denominador é problemático quando e , porque aí ele se torna zero, e não podemos dividir por zero.

Passo 5

Então, no ponto , as derivadas parciais de não estão definidas, já que teríamos uma divisão por zero. Isso significa que a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável apenas no ponto .

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Seja
Mostre que é diferenciável em .
Seja
é diferenciável em ?
Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável:
Use para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):