Seja
é diferenciável em ?

Passo 1

Vamos analisar a função definida por:
Queremos saber se é diferenciável em . Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Vamos resolver isso em passos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . A continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade. Calculamos o limite de quando se aproxima de :
Para verificar esse limite, escolhemos diferentes caminhos de aproximação.

Passo 3

Vamos aproximar-se de ao longo do eixo . Substituindo na função:
Então,

Passo 4

Agora, vamos aproximar-se de ao longo da curva . Substituindo na função:
Então,

Passo 5

Vamos tentar outro caminho, como . Substituindo na função:
Então,

Passo 6

Embora todos esses caminhos tenham limite 0, precisamos garantir que o limite seja o mesmo independentemente do caminho escolhido. Vamos considerar a aproximação polar, onde e , com :
Então,
Isso sugere que o limite é 0. Então, a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar as derivadas parciais em . Calculamos:
Então, as derivadas parciais em são e .

Passo 8

Para a função ser diferenciável em , o limite
deve ser zero. Substituindo os valores:
Convertendo para coordenadas polares:
O limite desse termo não depende de , mas varia com . Portanto, o limite não é zero.

Resposta

O não é diferenciável em .

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Seja
é contínua em ?
Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).
Seja
Mostre que é diferenciável em .
Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável: