Seja
é diferenciável em
?
Passo 1
Vamos analisar a função
definida por:
Queremos saber se
é diferenciável em
. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Vamos resolver isso em passos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. A continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade. Calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Para verificar esse limite, escolhemos diferentes caminhos de aproximação.
Passo 3
Vamos aproximar-se de
ao longo do eixo
. Substituindo
na função:
Então,
Passo 4
Agora, vamos aproximar-se de
ao longo da curva
. Substituindo
na função:
Então,
Passo 5
Vamos tentar outro caminho, como
. Substituindo
na função:
Então,
Passo 6
Embora todos esses caminhos tenham limite 0, precisamos garantir que o limite seja o mesmo independentemente do caminho escolhido. Vamos considerar a aproximação polar, onde
e
, com
:
Então,
Isso sugere que o limite é 0. Então, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar as derivadas parciais em
. Calculamos:
Então, as derivadas parciais em
são
e
.
Passo 8
Para a função ser diferenciável em
, o limite
deve ser zero. Substituindo os valores:
Convertendo para coordenadas polares:
O limite desse termo não depende de
, mas varia com
. Portanto, o limite não é zero.
Resposta
O
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Seja
é contínua em
?
Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).
Mostre que
Seja
Mostre que é diferenciável em
.
Mostre que
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável: