Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
a) f(x, y) = (x^3 + 2xy^2) / (x^3 - y^3).
b) f(x, y) = raiz(x^4 + y^4).
c) f(x, y) = 6xy^3 + x^4 + 3.
d) f(x, y) = 3 / (x^5 + y^5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são homogêneas e, se forem, determinar o grau de homogeneidade. Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, quando a gente multiplica as variáveis por um escalar , a função toda se multiplica por . Ou seja:
Para resolver, vamos aplicar isso em cada função dada e ver se conseguimos identificar esse grau .

Passo 2

Vamos começar com a função a):
Primeiro, aplicamos a homogeneidade:
Calculando cada parte:
  • Numerador:
  • Denominador:
    Então:
Percebemos que:
Então, o grau de homogeneidade é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a função b):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é 2.

Passo 4

Vamos para a função c):
Aplicamos a homogeneidade:
Note que:
  • Os primeiros dois termos têm , mas o último termo é constante (não depende de ).
    Isso significa que:
Para nenhum valor de , já que temos uma mistura de termos com diferentes potências de .
Portanto, a função c) não é homogênea.

Passo 5

Por último, vamos analisar a função d):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é .

Resposta

a) A função é homogênea de grau 0.
b) A função é homogênea de grau 2.
c) A função não é homogênea.
d) A função é homogênea de grau .

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