Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são homogêneas e, se forem, determinar o grau de homogeneidade. Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, quando a gente multiplica as variáveis por um escalar
, a função toda se multiplica por
. Ou seja:
Para resolver, vamos aplicar isso em cada função dada e ver se conseguimos identificar esse grau
.
Passo 2
Vamos começar com a função a):
Primeiro, aplicamos a homogeneidade:
Calculando cada parte:
- Numerador:
- Denominador:
Então:
Percebemos que:
Então, o grau de homogeneidade é 0.
Passo 3
Agora, vamos para a função b):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é 2.
Passo 4
Vamos para a função c):
Aplicamos a homogeneidade:
Note que:
- Os primeiros dois termos têm
, mas o último termo é constante (não depende de ).
Isso significa que:
Para nenhum valor de
, já que temos uma mistura de termos com diferentes potências de
.
Portanto, a função c) não é homogênea.
Portanto, a função c) não é homogênea.
Passo 5
Por último, vamos analisar a função d):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é
.
Resposta
a) A função é homogênea de grau 0.
b) A função é homogênea de grau 2.
c) A função não é homogênea.
d) A função é homogênea de grau
.
Exercícios relacionados
Derive:
Derive:
Lembrete (derivada do produto):
Lembrete (derivada do produto):
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Determine o conjunto de
de modo que
seja contínua.
a)
b) .
a)
b)