Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
a) .
b) .
c) .
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são homogêneas e, se forem, determinar o grau de homogeneidade. Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, quando a gente multiplica as variáveis por um escalar , a função toda se multiplica por . Ou seja:
Para resolver, vamos aplicar isso em cada função dada e ver se conseguimos identificar esse grau .

Passo 2

Vamos começar com a função a):
Primeiro, aplicamos a homogeneidade:
Calculando cada parte:
  • Numerador:
  • Denominador:
    Então:
Percebemos que:
Então, o grau de homogeneidade é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a função b):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é 2.

Passo 4

Vamos para a função c):
Aplicamos a homogeneidade:
Note que:
  • Os primeiros dois termos têm , mas o último termo é constante (não depende de ).
    Isso significa que:
Para nenhum valor de , já que temos uma mistura de termos com diferentes potências de .
Portanto, a função c) não é homogênea.

Passo 5

Por último, vamos analisar a função d):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é .

Resposta

a) A função é homogênea de grau 0.
b) A função é homogênea de grau 2.
c) A função não é homogênea.
d) A função é homogênea de grau .

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Derive:
Derive:
Lembrete (derivada do produto):
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Determine o conjunto de de modo que seja contínua.
a)
b) .