Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são homogêneas e, se forem, determinar o grau de homogeneidade. Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, quando a gente multiplica as variáveis por um escalar
, a função toda se multiplica por
. Ou seja:
Para resolver, vamos aplicar isso em cada função dada e ver se conseguimos identificar esse grau
.
Passo 2
Vamos começar com a função a):
Primeiro, aplicamos a homogeneidade:
Calculando cada parte:
- Numerador:
- Denominador:
Então:
Percebemos que:
Então, o grau de homogeneidade é 0.
Passo 3
Agora, vamos para a função b):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é 2.
Passo 4
Vamos para a função c):
Aplicamos a homogeneidade:
Note que:
- Os primeiros dois termos têm
, mas o último termo é constante (não depende de ).
Isso significa que:
Para nenhum valor de
, já que temos uma mistura de termos com diferentes potências de
.
Portanto, a função c) não é homogênea.
Portanto, a função c) não é homogênea.
Passo 5
Por último, vamos analisar a função d):
Aplicamos a homogeneidade:
Então:
Isso mostra que o grau de homogeneidade é
.
Resposta
a) A função é homogênea de grau 0.
b) A função é homogênea de grau 2.
c) A função não é homogênea.
d) A função é homogênea de grau
.