Determine se o conjunto S que segue é uma base para o R^3.
S=(1,1,1),(0,-1,2),(1,0,1)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o conjunto e a pergunta é: será que esse conjunto forma uma base para o ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, que envolve conceitos de espaços vetoriais e independência linear. Vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e se eles conseguem “gerar” todo o .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. A ideia aqui é colocar cada vetor como uma coluna da matriz. Assim, teremos:
A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 2 & 1

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, uma maneira fácil é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base para det(A) = 1 cdot -1 & 0 2 & 1 - 0 cdot 1 & 0 1 & 1 + 1 cdot 1 & -1 1 & 2 .
Vamos calcular o determinante de -1 & 0 2 & 1 = (-1)(1) - (0)(2) = -1 :
1 & -1 1 & 2 = (1)(2) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3
Calculando os menores:
det(A) = 1 cdot (-1) - 0 + 1 cdot 3 = -1 + 3 = 2
Substituindo de volta:

Passo 4

Como o determinante de é 2, que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para .

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