Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: a) o polígono.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer descobrir qual é o polígono regular que, a partir de um vértice, tem tantas diagonais quanto as diagonais de um hexágono. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o número de diagonais de um polígono e aplicar isso tanto para o hexágono quanto para o polígono que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o número total de diagonais de um polígono regular com Número de diagonais = n(n - 3)2 lados. A fórmula é:
ú
Isso porque de cada vértice, dá para desenhar diagonais para outros vértices (não conta ele mesmo e os dois vizinhos). Multiplicando por e dividindo por 2 para não contar duas vezes a mesma diagonal.

Passo 3

Sabemos que estamos lidando com um hexágono, que tem 6 lados. Vamos calcular quantas diagonais ele tem:
Diagonal do hexágono = 6(6 - 3)2 = 6 times 32 = 9 á
Então, o hexágono tem 9 diagonais no total.

Passo 4

Agora, queremos encontrar um polígono regular que, a partir de um vértice, tenha 9 diagonais. Sabemos que de cada vértice, o número de diagonais é n - 3 = 9 . Então, podemos escrever:
n = 9 + 3 = 12
Resolvendo para :

Passo 5

Portanto, o polígono que a questão está pedindo é um dodecágono, que tem 12 lados.

Resposta

O polígono é um dodecágono, ou seja, um polígono regular de 12 lados.

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