Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: a) o polígono.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer descobrir qual é o polígono regular que, a partir de um vértice, tem tantas diagonais quanto as diagonais de um hexágono. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o número de diagonais de um polígono e aplicar isso tanto para o hexágono quanto para o polígono que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o número total de diagonais de um polígono regular com
lados. A fórmula é:
Isso porque de cada vértice, dá para desenhar diagonais para
outros vértices (não conta ele mesmo e os dois vizinhos). Multiplicando por
e dividindo por 2 para não contar duas vezes a mesma diagonal.
Passo 3
Sabemos que estamos lidando com um hexágono, que tem 6 lados. Vamos calcular quantas diagonais ele tem:
Então, o hexágono tem 9 diagonais no total.
Passo 4
Agora, queremos encontrar um polígono regular que, a partir de um vértice, tenha 9 diagonais. Sabemos que de cada vértice, o número de diagonais é
. Então, podemos escrever:
Resolvendo para
:
Passo 5
Portanto, o polígono que a questão está pedindo é um dodecágono, que tem 12 lados.
Resposta
O polígono é um dodecágono, ou seja, um polígono regular de 12 lados.