Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: c) a soma dos ângulos internos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um polígono regular que, a partir de um de seus vértices, tem o mesmo número de diagonais que um hexágono. Nosso objetivo é encontrar a soma dos ângulos internos desse polígono. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o número de diagonais de um polígono e a fórmula para a soma dos ângulos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas diagonais tem um hexágono. Um hexágono tem 6 lados. A fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono com Número de diagonais = n(n - 3)2 lados é:
6(6 - 3)2 = 6 times 32 = 9 ú
Aplicando isso para o hexágono:
Então, um hexágono tem 9 diagonais.

Passo 3

Agora, sabemos que o polígono regular que estamos investigando também tem 9 diagonais a partir de um vértice. Mas atenção: a fórmula que usamos dá o número total de diagonais no polígono, não a partir de um único vértice. Vamos ajustar isso.
Em um polígono com n(n - 3)2 = 9 lados, cada vértice se conecta a n(n - 3) = 18 outros vértices através de diagonais (não conta os dois lados adjacentes e o próprio vértice). Então, o número total de diagonais é:
Agora, temos a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
n^2 - 3n - 18 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar n = 3 pm raiz9 + 722 = 3 pm raiz812 = 3 pm 92 :
n = 122 = 6 ou n = -62 = -3
Isso nos dá duas soluções:
Como o número de lados não pode ser negativo, temos . Isso significa que o polígono é um hexágono.

Passo 5

Agora que sabemos que o polígono é um hexágono, podemos calcular a soma dos ângulos internos. A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono com Soma dos ângulos internos = (n - 2) times 180^circ lados é:
(6 - 2) times 180^circ = 4 times 180^circ = 720^circ â
Substituindo :

Resposta

A soma dos ângulos internos do polígono é .

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