Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: c) a soma dos ângulos internos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um polígono regular que, a partir de um de seus vértices, tem o mesmo número de diagonais que um hexágono. Nosso objetivo é encontrar a soma dos ângulos internos desse polígono. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o número de diagonais de um polígono e a fórmula para a soma dos ângulos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantas diagonais tem um hexágono. Um hexágono tem 6 lados. A fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono com
lados é:
Aplicando isso para o hexágono:
Então, um hexágono tem 9 diagonais.
Passo 3
Agora, sabemos que o polígono regular que estamos investigando também tem 9 diagonais a partir de um vértice. Mas atenção: a fórmula que usamos dá o número total de diagonais no polígono, não a partir de um único vértice. Vamos ajustar isso.
Em um polígono com
lados, cada vértice se conecta a
outros vértices através de diagonais (não conta os dois lados adjacentes e o próprio vértice). Então, o número total de diagonais é:
Agora, temos a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar
:
Isso nos dá duas soluções:
Como o número de lados não pode ser negativo, temos
. Isso significa que o polígono é um hexágono.
Passo 5
Agora que sabemos que o polígono é um hexágono, podemos calcular a soma dos ângulos internos. A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono com
lados é:
Substituindo
:
Resposta
A soma dos ângulos internos do polígono é
.