Determine a matriz
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz
que, quando somamos
, o resultado seja a matriz
. Aqui estamos trabalhando com matrizes e séries aritméticas. Para resolver isso, vamos precisar somar os coeficientes que multiplicam a matriz
e depois isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma
. Observe que todas as parcelas são múltiplos de
. Podemos fatorar
dessa soma:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a soma dos números de 1 até 100, ou seja,
. Essa é uma série aritmética, e a soma de uma série aritmética pode ser calculada pela fórmula:
onde
é o último número da série. Aqui,
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Então, a soma dos coeficientes é 5050.
Passo 5
Agora, voltando à equação original:
Para encontrar
, precisamos isolar ele. Isso significa dividir ambos os lados da equação por 5050.
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 5050:
Passo 7
Realizando a divisão:
Resposta
A matriz
é a matriz identidade de ordem 2: