Determine a matriz X tal que X+2 X+3 X+cdots+100 X=(cc5050 & 0 0 & 5050).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz 5050 & 0 0 & 5050 que, quando somamos , o resultado seja a matriz . Aqui estamos trabalhando com matrizes e séries aritméticas. Para resolver isso, vamos precisar somar os coeficientes que multiplicam a matriz e depois isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma X + 2X + 3X + cdots + 100X = (1 + 2 + 3 + cdots + 100)X . Observe que todas as parcelas são múltiplos de . Podemos fatorar dessa soma:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a soma dos números de 1 até 100, ou seja, S = n(n + 1)2 . Essa é uma série aritmética, e a soma de uma série aritmética pode ser calculada pela fórmula:
onde é o último número da série. Aqui, .

Passo 4

Aplicando a fórmula:
S = 100 times (100 + 1)2 = 100 times 1012 = 5050
Então, a soma dos coeficientes é 5050.

Passo 5

Agora, voltando à equação original:
(1 + 2 + 3 + cdots + 100)X = 5050X = 5050 & 0 0 & 5050
Para encontrar , precisamos isolar ele. Isso significa dividir ambos os lados da equação por 5050.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 5050:
X = 15050 5050 & 0 0 & 5050

Passo 7

Realizando a divisão:
X = 50505050 & 05050 05050 & 50505050 = 1 & 0 0 & 1

Resposta

A matriz X = 1 & 0 0 & 1 é a matriz identidade de ordem 2:

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