Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que pede para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente. O conjunto dado é . Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Caso nenhum vetor possa ser expresso dessa forma, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Para verificar a dependência ou independência, consideramos uma combinação linear dos vetores do conjunto igual a zero:
Aqui, e são escalares. Nosso objetivo é encontrar valores para e que satisfaçam essa equação.
Passo 4
Vamos expandir a combinação linear componente por componente:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que a única solução para essa equação é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Passo 6
Como a única solução é a trivial, concluímos que os vetores do conjunto não podem ser escritos como combinações lineares não triviais uns dos outros. Portanto, o conjunto é linearmente independente.