Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que pede para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente. O conjunto dado é . Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Caso nenhum vetor possa ser expresso dessa forma, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Para verificar a dependência ou independência, consideramos uma combinação linear dos vetores do conjunto igual a zero:
Aqui, e são escalares. Nosso objetivo é encontrar valores para e que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Vamos expandir a combinação linear componente por componente:
Isso simplifica para:

Passo 5

Observamos que a única solução para essa equação é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.

Passo 6

Como a única solução é a trivial, concluímos que os vetores do conjunto não podem ser escritos como combinações lineares não triviais uns dos outros. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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Determine para que os vetores sejam linearmente dependentes. e .
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Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
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