Determine para que os vetores sejam linearmente dependentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Aqui, a matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente o conceito de dependência linear. Para isso, vamos precisar entender quando um conjunto de vetores é linearmente dependente, ou seja, quando um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente dependentes. Três vetores , , e em são linearmente dependentes se existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) desses vetores que resulta no vetor zero. Mas uma forma mais simples, especialmente com dois vetores, é verificar se um é múltiplo do outro.
Passo 3
Vamos focar nos vetores e . Queremos encontrar um número tal que . Se isso for possível, os vetores e são linearmente dependentes.
Passo 4
Vamos igualar as componentes de a vezes as componentes de :
Da primeira equação, temos:
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse valor de satisfaz a segunda equação:
Está certinho! Agora, usamos o valor de para encontrar :
Resposta
Os valores que satisfazem a condição de linearmente dependentes são e .