Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto em é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos utilizar o conceito de dependência linear, que basicamente verifica se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Dizemos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe pelo menos um vetor que pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Se isso não acontecer, ou seja, se nenhum vetor puder ser escrito dessa forma, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se algum dos vetores em pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos tentar expressar o terceiro vetor como uma combinação dos dois primeiros vetores e .
Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Vamos escrever isso em termos de componentes:
Isso resulta nas seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para encontrar o valor de :
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Por último, verificamos na terceira equação:
Tudo bateu certinho!
Resposta
O conjunto é linearmente dependente, pois o terceiro vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos dois primeiros vetores.