Determine para que os vetores sejam linearmente dependentes. e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem os vetores e serem linearmente dependentes. Isso está ligado ao conteúdo de dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender quando um vetor pode ser uma combinação de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são linearmente dependentes se um deles pode ser escrito como um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número tal que .

Passo 3

Vamos assumir que . Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a componente correspondente de . Vamos escrever isso componente a componente:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar , e .
Da primeira equação:
Isso já nos dá em termos de .

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
Agora temos em termos de : .

Passo 6

Agora, substituímos na terceira equação:
Isso nos dá uma equação cúbica:

Passo 7

Vamos resolver a equação . Podemos tentar valores inteiros para encontrar uma raiz real.
Testando :
Então, é uma solução.

Passo 8

Com :

Resposta

Os valores são e para que os vetores e sejam linearmente dependentes.

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Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
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