Determine
para que os vetores
sejam linearmente dependentes.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de
e
que fazem os vetores
e
serem linearmente dependentes. Isso está ligado ao conteúdo de dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender quando um vetor pode ser uma combinação de outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são linearmente dependentes se um deles pode ser escrito como um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número
tal que
.
Passo 3
Vamos assumir que
. Isso significa que cada componente de
deve ser igual a
vezes a componente correspondente de
. Vamos escrever isso componente a componente:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
.
Da primeira equação:
Isso já nos dá
em termos de
.
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Agora temos
em termos de
:
.
Passo 6
Agora, substituímos
na terceira equação:
Isso nos dá uma equação cúbica:
Passo 7
Vamos resolver a equação
. Podemos tentar valores inteiros para encontrar uma raiz real.
Testando
:
Então,
é uma solução.
Passo 8
Com
:
Resposta
Os valores são
e
para que os vetores
e
sejam linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Determine
para que os vetores
sejam linearmente dependentes.
e
.
Determine
para que os vetores
sejam linearmente independentes.
e
.
Determine se o conjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente.
.
Determine se o conjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente.
.