Determine m, n in R para que os vetores u, v, w in R^3 sejam linearmente dependentes. u=(1, m, n+1) e v=(m, n, 10).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem os vetores e serem linearmente dependentes. Isso está ligado ao conteúdo de dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender quando um vetor pode ser uma combinação de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são linearmente dependentes se um deles pode ser escrito como um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número tal que .

Passo 3

Vamos assumir que m = k cdot 1 . Isso significa que cada componente de n = k cdot m deve ser igual a 10 = k cdot (n + 1) vezes a componente correspondente de . Vamos escrever isso componente a componente:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar m = k , e .
Da primeira equação:
Isso já nos dá em termos de .

Passo 5

Substituindo n = k cdot m = k cdot k = k^2 na segunda equação:
Agora temos em termos de : .

Passo 6

Agora, substituímos 10 = k cdot (k^2 + 1) = k^3 + k na terceira equação:
k^3 + k - 10 = 0
Isso nos dá uma equação cúbica:

Passo 7

Vamos resolver a equação 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0 . Podemos tentar valores inteiros para encontrar uma raiz real.
Testando :
Então, é uma solução.

Passo 8

Com m = k = 2 :
n = k^2 = 4

Resposta

Os valores são e para que os vetores e sejam linearmente dependentes.

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