Determine a forma escalonoda reduzida das mutizes abaixo:
[ccc1 & 3 & 4 -1 & 5 & 4 2 & 4 & 6 1 & -1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz dada. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operações elementares em matrizes para transformar a matriz original em uma forma mais simples. Para isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar linhas por constantes e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos transformar:
1 & 3 & 4 -1 & 5 & 4 2 & 4 & 6 1 & -1 & 0
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida por linhas, onde cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) é 1 e é o único número diferente de zero na sua coluna.

Passo 3

Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1 (o que já está certo). Agora, queremos fazer com que todos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna sejam 0. Para isso:
  • Linha 2 (L2): L2 = L2 + L1 → -1 + 1 = 0, 5 + 3 = 8, 4 + 4 = 8
  • Linha 3 (L3): L3 = L3 - 2×L1 → 2 - 2×1 = 0, 4 - 2×3 = -2, 6 - 2×4 = -2
  • Linha 4 (L4): L4 = L4 - L1 → 1 - 1 = 0, -1 - 3 = -4, 0 - 4 = -4
A matriz fica assim:
1 & 3 & 4 0 & 8 & 8 0 & -2 & -2 0 & -4 & -4

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o primeiro número não zero dessa coluna seja 1. Observando a Linha 2 (L2), temos 8. Então, vamos dividir a Linha 2 por 8:
  • L2: L2 = L2 ÷ 8 → 0 ÷ 8 = 0, 8 ÷ 8 = 1, 8 ÷ 8 = 1
A matriz fica:
1 & 3 & 4 0 & 1 & 1 0 & -2 & -2 0 & -4 & -4

Passo 5

Agora, queremos que todos os outros elementos na segunda coluna sejam 0. Para isso:
  • Linha 1 (L1): L1 = L1 - 3×L2 → 1 - 3×0 = 1, 3 - 3×1 = 0, 4 - 3×1 = 1
  • Linha 3 (L3): L3 = L3 + 2×L2 → 0 + 2×0 = 0, -2 + 2×1 = 0, -2 + 2×1 = 0
  • Linha 4 (L4): L4 = L4 + 4×L2 → 0 + 4×0 = 0, -4 + 4×1 = 0, -4 + 4×1 = 0
A matriz fica:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Observamos que já conseguimos zerar os elementos abaixo e acima dos pivôs na primeira e segunda coluna. A última coluna não possui um pivô diferente de zero, então a matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A forma escalonada reduzida da matriz dada é:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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