Determine a forma escalonoda reduzida das mutizes abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz dada. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operações elementares em matrizes para transformar a matriz original em uma forma mais simples. Para isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar linhas por constantes e somar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos transformar:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida por linhas, onde cada pivô (o primeiro número diferente de zero em cada linha) é 1 e é o único número diferente de zero na sua coluna.
Passo 3
Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1 (o que já está certo). Agora, queremos fazer com que todos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna sejam 0. Para isso:
Linha 2 (L2): L2 = L2 + L1 → , ,
Linha 3 (L3): L3 = L3 - 2×L1 → , ,
Linha 4 (L4): L4 = L4 - L1 → , ,
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o primeiro número não zero dessa coluna seja 1. Observando a Linha 2 (L2), temos 8. Então, vamos dividir a Linha 2 por 8:
L2: L2 = L2 ÷ 8 → , ,
A matriz fica:
Passo 5
Agora, queremos que todos os outros elementos na segunda coluna sejam 0. Para isso:
Linha 1 (L1): L1 = L1 - 3×L2 → , ,
Linha 3 (L3): L3 = L3 + 2×L2 → , ,
Linha 4 (L4): L4 = L4 + 4×L2 → , ,
A matriz fica:
Passo 6
Observamos que já conseguimos zerar os elementos abaixo e acima dos pivôs na primeira e segunda coluna. A última coluna não possui um pivô diferente de zero, então a matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas.