Suponhamos que a temperatura em um ponto (x, y, z) de um corpo seja u(x, y, z). Então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
F := -K ∇u
onde K é uma constante determinada experimentalmente (chamada condutividade da substância). A integral de superfície desse campo F determina a taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura em um ponto específico de um corpo, representada por , está relacionada com o fluxo de calor. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especialmente o estudo da condução de calor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o campo vetorial do fluxo de calor e como calcular a taxa de transmissão de calor através de uma superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo de calor. O fluxo de calor é dado pela fórmula:
Aqui, é a condutividade térmica da substância, que indica quão bem o material conduz o calor. A expressão é o gradiente da temperatura, que mostra como a temperatura muda no espaço ao redor do ponto .

Passo 3

O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da temperatura e tem magnitude igual à taxa de variação da temperatura nessa direção. Portanto, multiplicando pelo coeficiente de condutividade térmica e adicionando o sinal negativo, obtemos o fluxo de calor , que aponta na direção de onde o calor está saindo.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de transmissão de calor através de uma superfície . Isso é feito calculando a integração de superfície do campo vetorial sobre :
ã
Aqui, é um elemento infinitesimal da superfície , e o ponto representa o produto escalar entre o fluxo de calor e o vetor normal à superfície .

Passo 5

Para calcular essa integral, precisamos:
  1. Determinar o campo vetorial usando a fórmula .
  2. Escolher uma superfície através da qual queremos calcular a transmissão de calor.
  3. Calcular o produto escalar para cada ponto da superfície.
  4. Integrar esse produto sobre toda a superfície .
Se conhecemos a função da temperatura e a superfície , podemos seguir esses passos para encontrar a taxa de transmissão de calor.

Resposta

A taxa de transmissão de calor através da superfície é dada pela integral de superfície:

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