Suponhamos que a temperatura em um ponto
de um corpo seja
. Então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
onde
é uma constante determinada experimentalmente (chamada condutividade da substância). A integral de superfície desse campo
determina a taxa de transmissão de calor através da superfície
no corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura em um ponto específico de um corpo, representada por
, está relacionada com o fluxo de calor. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especialmente o estudo da condução de calor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o campo vetorial do fluxo de calor e como calcular a taxa de transmissão de calor através de uma superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo de calor. O fluxo de calor
é dado pela fórmula:
Aqui,
é a condutividade térmica da substância, que indica quão bem o material conduz o calor. A expressão
é o gradiente da temperatura, que mostra como a temperatura muda no espaço ao redor do ponto
.
Passo 3
O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da temperatura e tem magnitude igual à taxa de variação da temperatura nessa direção. Portanto, multiplicando pelo coeficiente de condutividade térmica
e adicionando o sinal negativo, obtemos o fluxo de calor
, que aponta na direção de onde o calor está saindo.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de transmissão de calor através de uma superfície
. Isso é feito calculando a integração de superfície do campo vetorial
sobre
:
Aqui,
é um elemento infinitesimal da superfície
, e o ponto
representa o produto escalar entre o fluxo de calor
e o vetor normal à superfície
.
Passo 5
Para calcular essa integral, precisamos:
- Determinar o campo vetorial
usando a fórmula . - Escolher uma superfície
através da qual queremos calcular a transmissão de calor. - Calcular o produto escalar
para cada ponto da superfície. - Integrar esse produto sobre toda a superfície
.
Se conhecemos a função da temperatura
e a superfície
, podemos seguir esses passos para encontrar a taxa de transmissão de calor.
Resposta
A taxa de transmissão de calor através da superfície
é dada pela integral de superfície:
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Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
As funções
e
são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes
;
;
;
;
. A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.