Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte inequação para resolver no conjunto dos números reais:
Isso aqui envolve uma inequação racional. Pra resolver, a gente vai precisar achar onde o numerador e o denominador são iguais a zero, e depois analisar os sinais nos intervalos que esses valores criam na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros do numerador. Isso significa resolver:
Essa é uma equação quadrática, e para resolver ela, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então temos duas soluções:

Passo 3

Agora, vamos achar o zero do denominador, que é onde a expressão está indefinida. Resolvemos:
Então, é um ponto que precisamos considerar separadamente, pois a função não está definida aqui.

Passo 4

Com os pontos críticos , e , a gente divide a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos testar um número de cada intervalo na inequação para ver se ela é verdadeira (ou seja, se a expressão é menor que zero).

Passo 5

Intervalo 1:
Vamos escolher :
Intervalo 2:
Escolhemos :
Intervalo 3:
Escolhemos :
Intervalo 4:
Escolhemos :

Passo 6

Agora, vamos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero ou está indefinida:
  • : A expressão é zero ( é falso, então não incluímos)
  • : A expressão está indefinida (não incluímos)
  • : A expressão é zero ( é falso, então não incluímos)

Resposta

Portanto, o conjunto solução da inequação é:
E na reta numérica, isso aparece como duas regiões abertas: uma à esquerda de e outra entre e .

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Encontre o valor de sabendo que .
Fatore cada expressão.
Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)