Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte inequação para resolver no conjunto dos números reais:
Isso aqui envolve uma inequação racional. Pra resolver, a gente vai precisar achar onde o numerador e o denominador são iguais a zero, e depois analisar os sinais nos intervalos que esses valores criam na reta numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros do numerador. Isso significa resolver:
Essa é uma equação quadrática, e para resolver ela, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então temos duas soluções:
Passo 3
Agora, vamos achar o zero do denominador, que é onde a expressão está indefinida. Resolvemos:
Então,
é um ponto que precisamos considerar separadamente, pois a função não está definida aqui.
Passo 4
Com os pontos críticos
,
e
, a gente divide a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos testar um número de cada intervalo na inequação para ver se ela é verdadeira (ou seja, se a expressão é menor que zero).
Passo 5
Intervalo 1:
Vamos escolher
:
Intervalo 2:
Escolhemos
:
Intervalo 3:
Escolhemos
:
Intervalo 4:
Escolhemos
:
Passo 6
Agora, vamos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero ou está indefinida:
-
: A expressão é zero ( é falso, então não incluímos) -
: A expressão está indefinida (não incluímos) -
: A expressão é zero ( é falso, então não incluímos)
Resposta
Portanto, o conjunto solução da inequação é:
E na reta numérica, isso aparece como duas regiões abertas: uma à esquerda de
e outra entre
e
.
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Encontre o valor de
sabendo que
.
Fatore cada expressão.
Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)