Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A questão pede para determinar os valores de
que satisfazem a seguinte inequação no conjunto dos números reais e representar a solução na reta numérica:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre inequações envolvendo frações. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição de existência da fração
. O denominador não pode ser zero, então:
Isso significa que
não está no nosso domínio de solução.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
. Para isso, vamos considerar dois casos, porque o sinal da expressão
pode afetar a direção da desigualdade quando multiplicarmos ambos os lados.
Caso 1:
Isso acontece quando .
Isso acontece quando
Caso 2:
Isso ocorre quando .
Isso ocorre quando
Passo 4
Resolvendo o Caso 1:
Nessa situação, como
é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação sem mudar o sinal:
Vamos simplificar:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
. Lembre-se que ao dividir ou multiplicar por um número negativo em uma inequação, o sinal da desigualdade inverte:
Como estamos no caso onde
(que é
) e
, a solução desse caso é:
Passo 5
Resolvendo o Caso 2:
Aqui,
é negativo, então ao multiplicar ambos os lados da inequação, o sinal da desigualdade muda:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
e invertendo o sinal da desigualdade:
Mas, nesse caso, já temos que
(
) e
. Como
, a solução válida para esse caso é:
Resposta
Juntando os dois casos, a solução da inequação
no conjunto dos números reais é:
Na reta numérica, isso é representado por:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Encontre o valor de
sabendo que
.
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa já assumindo que a divisão por zero é indefinida. Justifique sua resposta. (Dica: apenas dois itens são verdadeiros.)