Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica. (x-1)^2 < 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte inequação para resolver no conjunto dos números reais: . Vamos utilizar conceitos de inequações quadráticas e propriedades de desigualdades para encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que significa que o quadrado de x - 1 é menor que 4. Para resolver isso, podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da inequação. Mas atenção: quando tiramos a raiz quadrada de uma inequação, precisamos considerar tanto o lado positivo quanto o negativo.

Passo 3

Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos o conceito de valor absoluto, que nos diz que a expressão dentro das barras pode ser positiva ou negativa, mas o resultado final é sempre positivo.

Passo 4

Agora, a inequação significa que a distância entre x e 1 é menor que . Para remover o valor absoluto, transformamos isso em duas inequações:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade composta adicionando 1 em todas as partes:
Isso simplifica para:

Resposta

O conjunto solução da inequação no domínio dos números reais é:
Na reta numérica, isso é representado por todos os números entre -1 e , sem incluir os próprios -1 e .

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