Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação aqui:
. O que isso significa? Basicamente, a gente quer descobrir para quais valores de
essa expressão inteira é menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais, identificar as raízes dessa função e analisar os sinais nos intervalos determinados por essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação
. As raízes são os valores de
que fazem a expressão igual a zero. Para resolver uma equação cúbica, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (8), ou seja,
.
Vamos testar
:
Então,
é uma raiz.
Passo 3
Agora que encontramos uma raiz, podemos fazer uma divisão polinomial para fatorar a equação. Dividindo
por
, obtemos:
Então, a equação fatorada fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver
:
Portanto, as raízes da equação são
,
e
.
Passo 5
Com as raízes em mãos, podemos dividir a reta numérica em intervalos onde a expressão
pode mudar de sinal. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para verificar o sinal da expressão.
Passo 6
Intervalo 1:
Intervalo 2:
Intervalo 3:
Passo 7
Queremos onde a expressão é menor que zero, ou seja, negativa. Observamos que isso acontece somente no primeiro intervalo, onde
.
Resposta
A solução da inequação
é
. Na reta numérica, isso é representado por uma seta para a esquerda a partir de
, indicando todos os valores menores que
.
Reta Numérica
Seta para a esquerda de
indicando
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Resolva as equações em
.
Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo.