Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação aqui: . O que isso significa? Basicamente, a gente quer descobrir para quais valores de essa expressão inteira é menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais, identificar as raízes dessa função e analisar os sinais nos intervalos determinados por essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação . As raízes são os valores de que fazem a expressão igual a zero. Para resolver uma equação cúbica, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (8), ou seja, .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.

Passo 3

Agora que encontramos uma raiz, podemos fazer uma divisão polinomial para fatorar a equação. Dividindo por , obtemos:
Então, a equação fatorada fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver :
Portanto, as raízes da equação são , e .

Passo 5

Com as raízes em mãos, podemos dividir a reta numérica em intervalos onde a expressão pode mudar de sinal. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para verificar o sinal da expressão.

Passo 6

Intervalo 1:
Intervalo 2:
Intervalo 3:

Passo 7

Queremos onde a expressão é menor que zero, ou seja, negativa. Observamos que isso acontece somente no primeiro intervalo, onde .

Resposta

A solução da inequação é . Na reta numérica, isso é representado por uma seta para a esquerda a partir de , indicando todos os valores menores que .

Reta Numérica

Seta para a esquerda de indicando

Exercícios relacionados

Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Determine o conjunto solução das inequações abaixo a partir do estudo de sinal.
Resolva as equações em .
Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo.