Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica. 5/x < 7/4

Passo 1

Neste exercício, precisamos resolver a inequação no conjunto dos números reais. Vamos utilizar conceitos de desigualdades envolvendo frações e analisar os diferentes casos para encontrar a solução correta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da inequação. Como temos uma divisão por x, sabemos que x não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio é x em R, x != 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois casos distintos para resolver a inequação, pois o sinal de x (positivo ou negativo) afeta a direção da desigualdade quando multiplicamos ambos os lados:
  1. Caso 1:
  2. Caso 2:

Passo 4

Caso 1:
Quando x é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação sem alterar o sentido da desigualdade:
Para isolar x, multiplicamos ambos os lados por 4/7:
Então, para , a solução é .

Passo 5

Caso 2:
Quando x é negativo, ao multiplicar ambos os lados da inequação por x, precisamos inverter o sentido da desigualdade:
Isolando x, multiplicamos ambos os lados por 4/7:
Como já consideramos que , a solução nesse caso é simplesmente .

Resposta

O conjunto solução da inequação é ou . Na reta numérica, isso corresponde aos intervalos:

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