Determine o conjunto solução das inequações abaixo a partir do estudo de sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a inequação
. Isso tudo está relacionado ao estudo de sinal, que é uma técnica para descobrir onde uma expressão é positiva, negativa ou zero. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores críticos onde a expressão muda de sinal e então analisar os sinais nos diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos, ou seja, os valores de
que fazem cada fator da expressão ser zero.
- Fator
: - Fator
:
Então, nossos pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos baseados nesses pontos críticos. Os intervalos ficam assim:
Vamos analisar o sinal da expressão
em cada intervalo.
Passo 4
Vamos ver o sinal de cada fator em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo. -
é sempre positivo (pois o quadrado de qualquer número é positivo). - Produto:
.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto:
.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto:
.
-
Nos pontos críticos:
- Em
: , então a expressão é zero. - Em
: , então a expressão também é zero.
Passo 5
Agora, queremos saber onde a expressão
é menor ou igual a zero (
).
Pelo que analisamos:
- Nos intervalos onde a expressão é negativa ou zero são:
-
Nos outros intervalos, a expressão é positiva, o que não atende à condição da inequação.
Resposta
O conjunto solução da inequação
é:
Exercícios relacionados
Determine o quociente e o resto na divisão de
por
.
e
Fatore cada expressão.
Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.