Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a inequação no conjunto dos números reais. Isso envolve conceitos de inequações racionais, ou seja, aquelas que têm frações com variáveis no denominador. Pra resolver, vamos precisar manipular a inequação e analisar onde ela é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, já sabemos que . Isso é importante pra não esquecer no final.

Passo 3

Agora, vamos deixar a inequação mais fácil de trabalhar. Vou subtrair 2 dos dois lados para trazer tudo para um lado:

Passo 4

Para combinar os termos, precisamos de um denominador comum. O denominador já é , então reescrevemos o 2 como :

Passo 5

Agora, juntamos as frações:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 6

Para resolver essa inequação, precisamos saber onde o numerador e o denominador mudam de sinal, ou seja, onde eles são zero.
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 7

Vamos considerar três intervalos:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 8

Intervalo 1:
  • Numerador:
  • Denominador:
Resultado: → Não satisfaz a inequação.

Passo 9

Intervalo 2:
  • Numerador: (pois )
  • Denominador:
Resultado: → Satisfaz a inequação.

Passo 10

Intervalo 3:
  • Numerador: (pois )
  • Denominador:
Resultado: → Não satisfaz a inequação.

Passo 11

Além disso, lembrando que e porque a inequação é estrita (">" e “<”), então esses pontos não estão incluídos na solução.

Resposta

A solução da inequação é o conjunto dos números reais que estão entre 5 e 6,5. Ou seja:
Na reta numérica, representa um intervalo aberto entre 5 e .

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