Determine o conjunto solução das inequações abaixo no domínio dos números reais. Represente a solução na reta numérica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a inequação
no conjunto dos números reais. Isso envolve conceitos de inequações racionais, ou seja, aquelas que têm frações com variáveis no denominador. Pra resolver, vamos precisar manipular a inequação e analisar onde ela é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, já sabemos que
. Isso é importante pra não esquecer no final.
Passo 3
Agora, vamos deixar a inequação mais fácil de trabalhar. Vou subtrair 2 dos dois lados para trazer tudo para um lado:
Passo 4
Para combinar os termos, precisamos de um denominador comum. O denominador já é
, então reescrevemos o 2 como
:
Passo 5
Agora, juntamos as frações:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Para resolver essa inequação, precisamos saber onde o numerador e o denominador mudam de sinal, ou seja, onde eles são zero.
- Numerador:
dá - Denominador:
dá
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Passo 7
Vamos considerar três intervalos:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo.
Passo 8
Intervalo 1:
- Numerador:
- Denominador:
Resultado:
→ Não satisfaz a inequação.
Passo 9
Intervalo 2:
- Numerador:
(pois ) - Denominador:
Resultado:
→ Satisfaz a inequação.
Passo 10
Intervalo 3:
- Numerador:
(pois ) - Denominador:
Resultado:
→ Não satisfaz a inequação.
Passo 11
Além disso, lembrando que
e
porque a inequação é estrita (">" e “<”), então esses pontos não estão incluídos na solução.
Resposta
A solução da inequação
é o conjunto dos números reais que estão entre 5 e 6,5. Ou seja:
Na reta numérica, representa um intervalo aberto entre 5 e
.
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