Determine o conjunto solução das inequações abaixo a partir do estudo de sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver a desigualdade
. Isso faz parte do estudo de inequações racionais, onde analisamos os sinais da fração para descobrir em quais intervalos a expressão é menor ou igual a zero. Para resolver, vamos precisar identificar os valores que tornam o numerador ou o denominador igual a zero e depois analisar os sinais nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores que tornam o numerador e o denominador iguais a zero. Isso nos dará os pontos críticos para dividir a reta numérica.
-
Numerador:
-
Denominador:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos:
Além disso, precisamos considerar os pontos
e
separadamente, já que a expressão pode mudar de sinal nesses pontos.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da fração
em cada intervalo:
-
Intervalo
: - Numerador (
): negativo - Denominador (
): negativo - Fração: positivo (negativo dividido por negativo dá positivo)
- Numerador (
-
Intervalo
: - Numerador (
): positivo - Denominador (
): negativo - Fração: negativo (positivo dividido por negativo dá negativo)
- Numerador (
-
Intervalo
: - Numerador (
): positivo - Denominador (
): positivo - Fração: positivo (positivo dividido por positivo dá positivo)
- Numerador (
Passo 5
Também precisamos verificar os pontos críticos:
-
Em
: - O numerador é zero, então
.
- O numerador é zero, então
-
Em
: - O denominador é zero, o que faz a expressão indefinida. Então,
não faz parte da solução.
- O denominador é zero, o que faz a expressão indefinida. Então,
Passo 6
Agora, lembrando que a desigualdade é
, ou seja, queremos onde a fração é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
- Intervalo
: fração positiva → não faz parte da solução. - Intervalo
: fração negativa → faz parte da solução. - Intervalo
: fração positiva → não faz parte da solução.
Além disso, em
, a fração é zero, o que também satisfaz a desigualdade.
Resposta
O conjunto solução da desigualdade
é
.
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por $g(x).
e
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