Determine o conjunto solução das inequações abaixo a partir do estudo de sinal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver a desigualdade . Isso faz parte do estudo de inequações racionais, onde analisamos os sinais da fração para descobrir em quais intervalos a expressão é menor ou igual a zero. Para resolver, vamos precisar identificar os valores que tornam o numerador ou o denominador igual a zero e depois analisar os sinais nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores que tornam o numerador e o denominador iguais a zero. Isso nos dará os pontos críticos para dividir a reta numérica.
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos:
Além disso, precisamos considerar os pontos e separadamente, já que a expressão pode mudar de sinal nesses pontos.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Numerador ( ): negativo
    • Denominador ( ): negativo
    • Fração: positivo (negativo dividido por negativo dá positivo)
  2. Intervalo :
    • Numerador ( ): positivo
    • Denominador ( ): negativo
    • Fração: negativo (positivo dividido por negativo dá negativo)
  3. Intervalo :
    • Numerador ( ): positivo
    • Denominador ( ): positivo
    • Fração: positivo (positivo dividido por positivo dá positivo)

Passo 5

Também precisamos verificar os pontos críticos:
  • Em :
    • O numerador é zero, então .
  • Em :
    • O denominador é zero, o que faz a expressão indefinida. Então, não faz parte da solução.

Passo 6

Agora, lembrando que a desigualdade é , ou seja, queremos onde a fração é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
  • Intervalo : fração positiva → não faz parte da solução.
  • Intervalo : fração negativa → faz parte da solução.
  • Intervalo : fração positiva → não faz parte da solução.
Além disso, em , a fração é zero, o que também satisfaz a desigualdade.

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é .

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