Determine o conjunto solução das inequações abaixo a partir do estudo de sinal. x(2x-3)(x^2+1) < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A questão é encontrar os valores de que satisfazem . Para isso, vamos usar o estudo de sinal, que faz parte da matéria de Funções e Equações. Precisamos identificar onde a expressão é negativa, analisando os sinais de cada fator.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores da expressão:
Cada um desses fatores pode mudar o sinal da expressão, então vamos encontrar os zeros de cada um deles.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde cada fator é igual a zero:
Observamos que não tem solução real, pois nenhum número real ao quadrado dá . Isso significa que sempre é positivo para qualquer real.

Passo 4

Vamos montar uma tabela de sinais considerando os pontos críticos e :
  • Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • é positivo.
    • Produto:
  • Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • é positivo.
    • Produto:
  • Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto:

Passo 5

Agora, queremos saber onde a expressão é menor que zero ( ). Observando a tabela de sinais:
  • A expressão é negativa apenas no intervalo .

Resposta

O conjunto solução da inequação é .

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