Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
-2 x+y+z & =0 3 y+4 z & =1 4 x+2 y & =2 w-x & =2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para encontrar o conjunto solução usando os métodos de eliminação e eliminação total. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende a resolver sistemas de equações usando técnicas para simplificar as equações e encontrar os valores das variáveis. Vamos precisar usar operações básicas de adição e subtração das equações para eliminar variáveis e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações para facilitar a visualização:
-2x + y + z = 0 (Equação 1) 3y + 4z = 1 (Equação 2) 4x + 2y = 2 (Equação 3) w - x = 2 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações, podemos tentar eliminar -4x + 2y + 2z = 0 (Equação 1 modificada) usando as Equações 1 e 3.
Multiplicamos a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
(-4x + 2y + 2z) - (4x + 2y) = 0 - 2 çã
Agora, subtraímos a Equação 3 da Equação 1 modificada:
-8x + 0y + 2z = -2
Simplificando:
-4x + z = -1 (Equação 5)
Dividindo ambos os lados por 2:
çã

Passo 4

Agora, temos a Equação 5 que relaciona w - x = 2 implies w = x + 2 e . Vamos resolver a Equação 4 para :
Isso nos dá em termos de .

Passo 5

Vamos voltar para a Equação 5:
-4x + z = -1 implies z = 4x - 1
Agora, temos 3y + 4z = 1 implies 3y + 4(4x - 1) = 1 em termos de 3y + 16x - 4 = 1 implies 3y = -16x + 5 implies y = -16x + 53 . Vamos usar essa expressão na Equação 2 para encontrar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos 4x + 2y = 2 implies 4x + 2(-16x + 53) = 2 e 12x + 2(-16x + 5) = 6 implies 12x - 32x + 10 = 6 em termos de -20x + 10 = 6 implies -20x = -4 implies x = -4-20 = 15 . Vamos usar a Equação 3 para encontrar :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos y = -16x + 53 = -16(15) + 53 = -165 + 53 = -165 + 2553 = 953 = 915 = 35 , vamos encontrar as outras variáveis usando as expressões que obtivemos:
Para z = 4x - 1 = 4(15) - 1 = 45 - 1 = -15 :
w = x + 2 = 15 + 2 = 15 + 105 = 115
Para :
Para :

Resposta

O conjunto solução do sistema é:
( 15,, 35,, -15,, 115 )

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