Determine os vetores u, v in R^4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada de v é igual a 3 e u+v=(1,2,3,4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , no espaço . Sabemos que todas as coordenadas de são iguais, que a última coordenada de é 3, e que a soma desses vetores é . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de soma de vetores e a ideia de que vetores iguais têm coordenadas iguais.

Passo 2

Vamos chamar cada coordenada de de . Como todas as coordenadas de são iguais, podemos escrever .

Passo 3

Sabemos que a última coordenada de é 3. Então, podemos escrever , onde , e são as outras coordenadas de que precisamos encontrar.

Passo 4

A soma de u + v = (a + b, a + c, a + d, a + 3) = (1, 2, 3, 4) e deve ser igual a . Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos igualar as coordenadas correspondentes:
a + b = 1 a + c = 2 a + d = 3 a + 3 = 4

Passo 6

Vamos resolver a última equação para encontrar o valor de a + 3 = 4 implies a = 1 :

Passo 7

Agora que sabemos que 1 + b = 1 implies b = 0 1 + c = 2 implies c = 1 1 + d = 3 implies d = 2 , podemos encontrar , e usando as outras equações:

Resposta

Portanto, os vetores são:
u = (1, 1, 1, 1) e v = (0, 1, 2, 3)

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