Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
2 x+y+z & =0 x+3 y+4 z & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o conjunto solução de:
2x + y + z = 0 x + 3y + 4z = 1
Vamos precisar usar o método de eliminação, que é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos eliminar o 2 times (x + 3y + 4z) = 2 times 1 2x + 6y + 8z = 2 . Para isso, vamos manipular as equações de forma que uma delas tenha o coeficiente de igual em valor absoluto.
Na primeira equação, o coeficiente de é 2, e na segunda é 1. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para igualar os coeficientes:

Passo 3

Agora, temos o sistema:
2x + y + z = 0 2x + 6y + 8z = 2
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o (2x + 6y + 8z) - (2x + y + z) = 2 - 0 5y + 7z = 2 :
2x + y + z = 0 5y + 7z = 2
Agora, reduzimos o sistema para:

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos isolar o 5y = 2 - 7z y = 2 - 7z5 :
Agora, expressamos em termos de .

Passo 5

Com o valor de 2x + ( 2 - 7z5 ) + z = 0 2x = - ( 2 - 7z5 + z ) 2x = - ( 2 - 7z + 5z5 ) 2x = - ( 2 - 2z5 ) x = - 2 - 2z10 x = 2z - 210 x = z - 15 em mãos, vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Agora, expressamos também em termos de .

Passo 6

Como temos x = t - 15 y = 2 - 7t5 z = t e expressos em função de , podemos definir como um parâmetro livre, digamos , onde é qualquer número real.
Assim, as soluções do sistema são:
Onde .

Resposta

O conjunto solução do sistema é:
( t - 15, 2 - 7t5, t ) mid t in R

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r (x1, x2)+(y1, y2)=(x1 cdot y1, x2 cdot y2) alpha cdot(x1, x2)=(x1^alpha, x2^alpha)
É um espaço vetorial.