Verifique se o conjunto
munido das operações:
É um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da forma:
é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas que um espaço vetorial precisa satisfazer e checar um por um se essas operações cumprem esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) precisa satisfazer certos axiomas, como existência de elemento zero, existência de inversos, comutatividade e associatividade da adição, distribuição da multiplicação por escalar, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando se existe um elemento zero no conjunto
. O elemento zero em um espaço vetorial é aquele que, quando adicionado a qualquer vetor, retorna o próprio vetor.
Na nossa definição de adição:
Procuramos um vetor
tal que:
Isso implica que
e
. Então, o elemento zero seria
. Porém, no contexto de espaços vetoriais, o elemento zero deveria agir como um verdadeiro zero aditivo, ou seja, somar-se a qualquer vetor sem alterá-lo.
No entanto, ao somar
com
:
Isso funciona, mas devemos verificar os outros axiomas para confirmar se realmente é um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe um inverso aditivo para cada vetor em
. O inverso aditivo de
deveria ser algum
tal que:
Usando a definição de adição:
Isso implica que
e
. Porém, observe que
e
já que
. Portanto, existe um inverso aditivo para cada vetor em
.
Passo 5
Vamos checar a associatividade da adição. Ou seja, para quaisquer três vetores
:
Aplicando a definição de adição:
Os dois lados resultam no mesmo valor, então a adição é associativa.
Passo 6
Verifiquemos a comutatividade da adição. Para quaisquer vetores
:
Usando a definição:
Como a multiplicação é comutativa nos números reais, isso sempre será verdade. Então, a adição é comutativa.
Passo 7
Vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Para qualquer escalar
e vetores
:
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a distribuição funciona.
Passo 8
Agora, vamos checar a distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Para quaisquer escalares
e vetor
:
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a distribuição da soma de escalares funciona.
Passo 9
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares. Para quaisquer escalares
e vetor
:
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a compatibilidade está ok.
Passo 10
Por último, vamos verificar a existência de um escalar neutro, ou seja, um escalar
tal que:
Aplicando a definição de multiplicação por escalar:
Então, o escalar neutro funciona como esperado.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.