Verifique se o conjunto V=(x, y) ; x, y>0 munido das operações:
r (x1, x2)+(y1, y2)=(x1 cdot y1, x2 cdot y2) alpha cdot(x1, x2)=(x1^alpha, x2^alpha)
É um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto r (x1, x2)+(y1, y2)=(x1 cdot y1, x2 cdot y2) alpha cdot(x1, x2)=(x1^alpha, x2^alpha) , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da forma:
é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas que um espaço vetorial precisa satisfazer e checar um por um se essas operações cumprem esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) precisa satisfazer certos axiomas, como existência de elemento zero, existência de inversos, comutatividade e associatividade da adição, distribuição da multiplicação por escalar, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando se existe um elemento zero no conjunto (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 cdot y1, x2 cdot y2) . O elemento zero em um espaço vetorial é aquele que, quando adicionado a qualquer vetor, retorna o próprio vetor.
Na nossa definição de adição:
(x1, x2) + (e1, e2) = (x1 cdot e1, x2 cdot e2) = (x1, x2)
Procuramos um vetor (x1 cdot 1, x2 cdot 1) = (x1, x2) tal que:
Isso implica que e . Então, o elemento zero seria . Porém, no contexto de espaços vetoriais, o elemento zero deveria agir como um verdadeiro zero aditivo, ou seja, somar-se a qualquer vetor sem alterá-lo.
No entanto, ao somar com :
Isso funciona, mas devemos verificar os outros axiomas para confirmar se realmente é um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos verificar se existe um inverso aditivo para cada vetor em (x1, x2) + (y1, y2) = zero = (1, 1) . O inverso aditivo de (x1 cdot y1, x2 cdot y2) = (1, 1) deveria ser algum tal que:
Usando a definição de adição:
Isso implica que e . Porém, observe que e já que . Portanto, existe um inverso aditivo para cada vetor em .

Passo 5

Vamos checar a associatividade da adição. Ou seja, para quaisquer três vetores (u + v) + w = u + (v + w) :
((u1 cdot v1, u2 cdot v2)) + (w1, w2) = (u1 cdot v1 cdot w1, u2 cdot v2 cdot w2)
Aplicando a definição de adição:
(u1, u2) + ((v1 cdot w1, v2 cdot w2)) = (u1 cdot v1 cdot w1, u2 cdot v2 cdot w2)
Os dois lados resultam no mesmo valor, então a adição é associativa.

Passo 6

Verifiquemos a comutatividade da adição. Para quaisquer vetores u + v = v + u :
(u1 cdot v1, u2 cdot v2) = (v1 cdot u1, v2 cdot u2)
Usando a definição:
Como a multiplicação é comutativa nos números reais, isso sempre será verdade. Então, a adição é comutativa.

Passo 7

Vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Para qualquer escalar alpha cdot (u + v) = alpha cdot u + alpha cdot v e vetores alpha cdot (u + v) = alpha cdot (u1 cdot v1, u2 cdot v2) = ((u1 cdot v1)^alpha, (u2 cdot v2)^alpha) :
alpha cdot u + alpha cdot v = (u1^alpha, u2^alpha) + (v1^alpha, v2^alpha) = (u1^alpha cdot v1^alpha, u2^alpha cdot v2^alpha) = (u1 cdot v1)^alpha, (u2 cdot v2)^alpha)
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a distribuição funciona.

Passo 8

Agora, vamos checar a distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares. Para quaisquer escalares (alpha + beta) cdot u = alpha cdot u + beta cdot u e vetor (alpha + beta) cdot (u1, u2) = (u1^alpha + beta, u2^alpha + beta) :
alpha cdot (u1, u2) + beta cdot (u1, u2) = (u1^alpha, u2^alpha) + (u1^beta, u2^beta) = (u1^alpha cdot u1^beta, u2^alpha cdot u2^beta) = (u1^alpha + beta, u2^alpha + beta)
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a distribuição da soma de escalares funciona.

Passo 9

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares. Para quaisquer escalares alpha cdot (beta cdot u) = (alpha beta) cdot u e vetor alpha cdot (beta cdot (u1, u2)) = alpha cdot (u1^beta, u2^beta) = ((u1^beta)^alpha, (u2^beta)^alpha) = (u1^alpha beta, u2^alpha beta) :
(alpha beta) cdot (u1, u2) = (u1^alpha beta, u2^alpha beta)
Aplicando as definições:
Esquerda:
Direita:
Os dois lados são iguais, então a compatibilidade está ok.

Passo 10

Por último, vamos verificar a existência de um escalar neutro, ou seja, um escalar 1 cdot u = u tal que:
1 cdot (u1, u2) = (u1^1, u2^1) = (u1, u2)
Aplicando a definição de multiplicação por escalar:
Então, o escalar neutro funciona como esperado.

Resposta

Sim, o conjunto com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.

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