Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral da equação diferencial
para
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis, conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar métodos específicos para esse tipo de equação, assumindo uma solução na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Com essa suposição, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de
são complexos, o que significa que as soluções serão funções oscilatórias multiplicadas por uma potência de
.
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.