Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais: x^2 y'' + 3 x y t + 5 y = 0, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral da equação diferencial para . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis, conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar métodos específicos para esse tipo de equação, assumindo uma solução na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Com essa suposição, precisamos encontrar as derivadas de :

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de são complexos, o que significa que as soluções serão funções oscilatórias multiplicadas por uma potência de .

Passo 5

Com os valores de , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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