Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termos forçados não homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução do tipo . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, resolvemos , que dá ou . Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . O lado direito da equação tem dois termos: e . Vamos tratar cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos lidar com . Sabemos que para termos da forma ou , assumimos uma solução particular do tipo . Então, para , assumimos:

Passo 5

Agora, derivamos :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 6

Agora, vamos tratar o termo . Para termos que são polinômios multiplicados por funções trigonométricas, assumimos uma solução particular do tipo . Então, assumimos:

Passo 7

Derivamos :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 8

Substituímos , e na equação original :
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Isso resulta em coeficientes nulos, indicando que a forma assumida de é solução da equação homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por novamente para encontrar uma solução particular adequada.

Passo 10

Assumimos então uma nova forma para :
Derivamos e substituímos novamente na equação original. Após cálculos similares aos passos anteriores, encontramos:
Então,

Passo 11

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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