Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termos forçados não homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução do tipo
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, resolvemos
, que dá
ou
. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. O lado direito da equação tem dois termos:
e
. Vamos tratar cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, vamos lidar com
. Sabemos que para termos da forma
ou
, assumimos uma solução particular do tipo
. Então, para
, assumimos:
Passo 5
Agora, derivamos
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
=>
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 6
Agora, vamos tratar o termo
. Para termos que são polinômios multiplicados por funções trigonométricas, assumimos uma solução particular do tipo
. Então, assumimos:
Passo 7
Derivamos
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original
:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Isso resulta em coeficientes nulos, indicando que a forma assumida de
é solução da equação homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por
novamente para encontrar uma solução particular adequada.
Passo 10
Assumimos então uma nova forma para
:
Derivamos e substituímos novamente na equação original. Após cálculos similares aos passos anteriores, encontramos:
Então,
Passo 11
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
Passe para coordenadas polares e calcule
em que
. Faça o esboço da região de integração.
Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
A integral
representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.