Determine o conjunto dos sontos de continuidade da funçio dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e verificar onde a função está bem definida e comporta-se de maneira contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Para que esteja bem definida fora de , o denominador não pode ser zero. Vamos descobrir onde isso acontece.

Passo 3

O denominador quando . Isso quer dizer que em todos os pontos da reta (exceto possivelmente em ), o denominador é zero, tornando a função indefinida nesses pontos.
Portanto, fora da reta , a função está bem definida e, sendo uma razão de polinômios onde o denominador não é zero, ela é contínua nesses pontos.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto . A função está definida como . Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Vamos tentar chegar ao limite por uma trajetória diferente, por exemplo, tomando :
À medida que se aproxima de 0, o termo tende ao infinito (a menos que ). Isso mostra que o limite não existe ou não é igual a 0. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 5

Concluímos que a função é contínua em todos os pontos do plano onde . A única exceção é a reta , onde a função não está definida (exceto em , que também é um ponto de descontinuidade).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função é todo o plano menos os pontos onde . Em notação matemática:

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. .
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo: .
Seja onde e são diferenciáveis, e suponha que
Determine e