Determine o conjunto dos sontos de continuidade da funçio dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função
é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e verificar onde a função está bem definida e comporta-se de maneira contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Para que
esteja bem definida fora de
, o denominador
não pode ser zero. Vamos descobrir onde isso acontece.
Passo 3
O denominador
quando
. Isso quer dizer que em todos os pontos da reta
(exceto possivelmente em
), o denominador é zero, tornando a função indefinida nesses pontos.
Portanto, fora da reta
, a função
está bem definida e, sendo uma razão de polinômios onde o denominador não é zero, ela é contínua nesses pontos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto
. A função está definida como
. Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Vamos tentar chegar ao limite por uma trajetória diferente, por exemplo, tomando
:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
tende ao infinito (a menos que
). Isso mostra que o limite não existe ou não é igual a 0. Portanto, a função não é contínua em
.
Passo 5
Concluímos que a função
é contínua em todos os pontos do plano
onde
. A única exceção é a reta
, onde a função não está definida (exceto em
, que também é um ponto de descontinuidade).
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função
é todo o plano
menos os pontos onde
. Em notação matemática:
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
.
Seja
onde
e
são diferenciáveis, e suponha que
Determine
e