Determine o conjunto dos sontos de continuidade da funçio dada por
f(x, y)=rr x^2 y^2+x^3 y^2x^5+y^5, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o conjunto dos pontos onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e verificar onde a função está bem definida e comporta-se de maneira contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x, y) = x^2 y^2 + x^3 y^2x^5 + y^5, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) está definida:
Para que esteja bem definida fora de , o denominador não pode ser zero. Vamos descobrir onde isso acontece.

Passo 3

O denominador quando . Isso quer dizer que em todos os pontos da reta (exceto possivelmente em ), o denominador é zero, tornando a função indefinida nesses pontos.
Portanto, fora da reta , a função está bem definida e, sendo uma razão de polinômios onde o denominador não é zero, ela é contínua nesses pontos.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto lim(x, y) to (0,0) x^2 y^2 + x^3 y^2x^5 + y^5 . A função está definida como f(x, m x) = x^2 (m x)^2 + x^3 (m x)^2x^5 + (m x)^5 = m^2 x^4 + m^2 x^5x^5 + m^5 x^5 = m^2 x^4 (1 + x)x^5 (1 + m^5) = m^2 (1 + x)x (1 + m^5) . Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Vamos tentar chegar ao limite por uma trajetória diferente, por exemplo, tomando :
À medida que se aproxima de 0, o termo tende ao infinito (a menos que ). Isso mostra que o limite não existe ou não é igual a 0. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 5

Concluímos que a função é contínua em todos os pontos do plano onde . A única exceção é a reta , onde a função não está definida (exceto em , que também é um ponto de descontinuidade).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função , (x, y) in R^2 mid y neq -x , é todo o plano menos os pontos onde . Em notação matemática:

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