Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e sabemos que a função seno é sempre limitada entre -1 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem valores sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independente do valor de
, o numerador
nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da nossa sequência, que é
. Conforme
aumenta,
também cresce sem limite, ou seja,
tende ao infinito (
).
Passo 4
Com o numerador limitado entre -1 e 1 e o denominador crescendo sem parar, a fração
fica cada vez menor. Basicamente, estamos dividindo um número que não passa de 1 por um número que está ficando cada vez maior.
Passo 5
Matematicamente, isso significa que:
Porque o numerador não consegue “acompanhar” o crescimento do denominador, a fração vai tendendo a zero.
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.
Exercícios relacionados
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
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Determine o conjunto dos sontos de continuidade da funçio dada por