Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método da matriz inversa. E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. O sistema que temos é:
x + 3y + z = 0 - x - y = 2 - x + y + 2z = 8
Para isso, vamos precisar entender como montar as matrizes dos coeficientes e dos termos constantes, calcular a inversa da matriz dos coeficientes e, finalmente, multiplicar essa inversa pela matriz dos termos constantes para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 e a matriz dos termos constantes B = 0 2 8 .
A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das variáveis nas equações:
E a matriz dos termos constantes é formada pelos números do lado direito das equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que chamamos de det(A) = 1((-1)(2) - (0)(1)) - 3((-1)(2) - (0)(-1)) + 1((-1)(1) - (-1)(-1)) . A inversa de uma matriz existe apenas se o determinante da matriz não for zero. Então, primeiro vamos calcular o determinante de det(A) = 1(-2 - 0) - 3(-2 - 0) + 1(-1 - 1) = -2 + 6 - 2 = 2 .
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando isso na nossa matriz:
Como o determinante é 2 (diferente de zero), a matriz inversa existe.
Passo 4
Com o determinante calculado, vamos encontrar a matriz dos cofatores, depois a matriz adjunta e finalmente a matriz inversa Cof(A) = (-1)(2) - (0)(1) & -[(-1)(2) - (0)(-1)] & (-1)(1) - (-1)(-1) -[(3)(2) - (1)(1)] & (1)(2) - (1)(-1) & -[(1)(1) - (1)(-1)] (3)(1) - (1)(-1) & -[(1)(1) - (1)(-1)] & (1)(-1) - (-1)(3) .
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -2 & 2 & -2 -5 & 3 & -2 4 & -2 & 2
Adj(A) = -2 & -5 & 4 2 & 3 & -2 -2 & -2 & 2
A matriz adjunta A^-1 = 12 -2 & -5 & 4 2 & 3 & -2 -2 & -2 & 2 = -1 & -2.5 & 2 1 & 1.5 & -1 -1 & -1 & 1 é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é a adjunta dividida pelo determinante: