Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=7-3 x+4 x^2, 6+2 x-x^2, 1-8 x+5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um conjunto de vetores no espaço é linearmente independente ou dependente. Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se um conjunto de vetores não depende uns dos outros, ou seja, se nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever cada polinômio do conjunto como um vetor de seus coeficientes. No espaço , cada polinômio pode ser representado por um vetor de 3 componentes correspondentes aos termos de (constante), e .
Então, temos:
  • vira o vetor
  • vira o vetor
  • vira o vetor

Passo 3

Agora, para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
7 & 6 & 1 -3 & 2 & -8 4 & -1 & 5
A gente vai calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz:
det = 7 times (2 times 5 - (-8) times (-1)) - 6 times (-3 times 5 - 4 times (-8)) + 1 times (-3 times (-1) - 4 times 2)
Fazendo as contas passo a passo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:

Passo 5

Como o determinante calculado foi , que é diferente de zero, isso significa que os vetores não dependem uns dos outros. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Mostre que os pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema de equações
l x-y+2=0 x+y+z=0
formam um reta. Explicite uma equação vetorial desta.
Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=2-x, 2 x-x^2, 6-5 x+x^2
Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta r : X=(1,0,1)+lambda(2,1,1)(lambda in R).
(1) (4,1,-1)
(2) (3,1,2)
(3) (-1,-1,0)
Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
2, x^2 cdot x, 2 x+3