Determine se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou linearmente dependente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou dependente. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear. Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores e verificar se apenas a combinação trivial resulta no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, se a única maneira de fazer uma combinação linear desses vetores igualar ao vetor zero é multiplicando cada vetor por zero, então eles são independentes. Caso contrário, eles são dependentes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto . Queremos encontrar se existem escalares diferentes de zero tal que:
Passo 4
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa expressão seja igual a zero para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Da terceira equação, temos -a + 2b - 5b = 0 -a - 3b = 0 a = -3b . Substituindo na segunda equação:
2(-3b) + 6b = 0 -6b + 6b = 0 0 = 0
Agora, substituindo e na primeira equação:
Passo 7
A última equação nos diz que , o que é sempre verdadeiro, mas não nos dá nenhuma informação nova. Isso significa que temos infinitas soluções para além da solução trivial . Por exemplo, se escolhermos , então e .
Resposta
Como existe uma combinação não trivial que satisfaz , o conjunto é linearmente dependente.