Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=2-x, 2 x-x^2, 6-5 x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou dependente. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear. Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores e verificar se apenas a combinação trivial resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, se a única maneira de fazer uma combinação linear desses vetores igualar ao vetor zero é multiplicando cada vetor por zero, então eles são independentes. Caso contrário, eles são dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto a(2 - x) + b(2x - x^2) + c(6 - 5x + x^2) = 0 . Queremos encontrar se existem escalares diferentes de zero tal que:

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
2a - ax + 2bx - bx^2 + 6c - 5cx + cx^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2a + 6c) + (-a + 2b - 5c)x + (-b + c)x^2 = 0

Passo 5

Para que essa expressão seja igual a zero para todos os valores de 2a + 6c = 0 -a + 2b - 5c = 0 -b + c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da terceira equação, temos -a + 2b - 5b = 0 -a - 3b = 0 a = -3b . Substituindo na segunda equação:
2(-3b) + 6b = 0 -6b + 6b = 0 0 = 0
Agora, substituindo e na primeira equação:

Passo 7

A última equação nos diz que , o que é sempre verdadeiro, mas não nos dá nenhuma informação nova. Isso significa que temos infinitas soluções para além da solução trivial . Por exemplo, se escolhermos , então e .

Resposta

Como existe uma combinação não trivial que satisfaz , o conjunto é linearmente dependente.

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