Mostre que os pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema de equações
l x-y+2=0 x+y+z=0
formam um reta. Explicite uma equação vetorial desta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os pontos que satisfazem o sistema de equações
l x - y + 2 = 0 x + y + z = 0
formam uma reta. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e representação de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar resolver o sistema para expressar as variáveis em função de um parâmetro, que nos ajudará a definir a equação vetorial da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar relações entre as variáveis x - y + 2 = 0 , x = y - 2 e . A primeira equação é:
Podemos rearranjar para expressar em função de :

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de x + y + z = 0 (y - 2) + y + z = 0 2y - 2 + z = 0 na segunda equação do sistema:
z = -2y + 2
Isolando :

Passo 4

Até agora, expressamos y = t e x = t - 2 z = -2t + 2 em função de . Vamos chamar de parâmetro :
Então, as expressões ficam:

Passo 5

Agora, temos todas as coordenadas x = t - 2 y = t z = -2t + 2 , e em função do parâmetro :
Isso representa uma reta no espaço tridimensional, onde é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 6

Para escrever a equação vetorial da reta, identificamos um ponto específico e um vetor diretor. Vamos escolher x = -2, y = 0, z = 2 para encontrar um ponto:
De
Então, um ponto é .
O vetor diretor pode ser obtido observando as variações das coordenadas em função de :
Então, o vetor diretor é .

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r(t) = -2 , 0 , 2 + t 1 , 1 , -2 , t in R

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(2) (3,1,2)
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