Mostre que os pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema de equações
formam um reta. Explicite uma equação vetorial desta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os pontos que satisfazem o sistema de equações
formam uma reta. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e representação de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar resolver o sistema para expressar as variáveis em função de um parâmetro, que nos ajudará a definir a equação vetorial da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar relações entre as variáveis , e . A primeira equação é:
Podemos rearranjar para expressar em função de :
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de na segunda equação do sistema:
Isolando :
Passo 4
Até agora, expressamos e em função de . Vamos chamar de parâmetro :
Então, as expressões ficam:
Passo 5
Agora, temos todas as coordenadas , e em função do parâmetro :
Isso representa uma reta no espaço tridimensional, onde é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 6
Para escrever a equação vetorial da reta, identificamos um ponto específico e um vetor diretor. Vamos escolher x = -2, y = 0, z = 2 para encontrar um ponto:
De
Então, um ponto é .
O vetor diretor pode ser obtido observando as variações das coordenadas em função de :