Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em :
Passo 1
Vamos resumir a questão: precisamos determinar se os vetores são linearmente independentes no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que verifica se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma combinação linear desses vetores igual a zero. Isso significa que procuramos valores escalares , e tais que:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação para separar os termos por grau de :
Passo 4
Para que essa equação seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, 2c3 = 0, obtemos c3 = 0.
Substituindo c3 = 0 na terceira equação, temos 2c1 + 0 = 0, o que resulta em c1 = 0.
Já sabemos que c2 = 0 da primeira equação.
Resposta
Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores 2, x^3, 2x + 3 são linearmente independentes em P3.