Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
2, x^2 cdot x, 2 x+3

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos determinar se os vetores 2, x^3, 2x + 3 são linearmente independentes no espaço P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que verifica se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma combinação linear desses vetores igual a zero. Isso significa que procuramos valores escalares c1, c2 e c3 tais que:
c1 cdot 2 + c2 cdot x^3 + c3 cdot (2x + 3) = 0

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação para separar os termos por grau de x:
c2x^3 + (2c3)x + (2c1 + 3c3) = 0

Passo 4

Para que essa equação seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
c2 = 0 2c3 = 0 2c1 + 3c3 = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, 2c3 = 0, obtemos c3 = 0.
  2. Substituindo c3 = 0 na terceira equação, temos 2c1 + 0 = 0, o que resulta em c1 = 0.
  3. Já sabemos que c2 = 0 da primeira equação.

Resposta

Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores 2, x^3, 2x + 3 são linearmente independentes em P3.

Exercícios relacionados

Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta r : X=(1,0,1)+lambda(2,1,1)(lambda in R).
(1) (4,1,-1)
(2) (3,1,2)
(3) (-1,-1,0)
Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=7-3 x+4 x^2, 6+2 x-x^2, 1-8 x+5 x^2
Mostre que as equações
2 x-13=1-y2=z+1
descrevem uma reta. Exiba equação vetorial e sistema de equações paramétricas para essa reta.
Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2. Para que valores de t in R a função lang<= u, v>=x1 y1+t2 y2 é um produto interno sobre o R^2 ?