Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta r : X=(1,0,1)+lambda(2,1,1)(lambda in R).
(1) (4,1,-1)
(2) (3,1,2)
(3) (-1,-1,0)

Passo 1

Vamos conferir se os pontos (4,1,-1), (3,1,2) e (-1,-1,0) estão na reta r definida por , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, comparando as coordenadas dos pontos com as da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta (2,1,1). Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido adicionando um múltiplo do vetor diretor (1,0,1) ao ponto inicial x = 1 + 2lambda y = 0 + lambda z = 1 + lambda . As coordenadas de um ponto na reta são dadas por:
Então, temos três equações para cada ponto que queremos verificar.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro ponto (4,1,-1). Substituindo nas equações da reta:
4 = 1 + 2lambda (1) 1 = 0 + lambda (2) -1 = 1 + lambda (3)
Resolvendo a equação (2):
lambda = 1
Agora, substituímos 4 = 1 + 2(1) 4 = 3 (não é verdadeiro) na equação (1):
(4,1,-1)ãé
Como as equações não são consistentes, o ponto r não pertence à reta .

Passo 4

Agora, vamos verificar o segundo ponto (3,1,2). Substituindo nas equações:
3 = 1 + 2lambda (1) 1 = 0 + lambda (2) 2 = 1 + lambda (3)
Resolvendo a equação (2):
lambda = 1
Substituindo 3 = 1 + 2(1) 3 = 3 (verdadeiro) na equação (1):
2 = 1 + 1 2 = 2 (verdadeiro)
E na equação (3):
(3,1,2)
Como todas as equações são verdadeiras para r, o ponto pertence à reta .

Passo 5

Por último, vamos verificar o ponto (-1,-1,0). Substituindo nas equações:
-1 = 1 + 2lambda (1) -1 = 0 + lambda (2) 0 = 1 + lambda (3)
Resolvendo a equação (2):
lambda = -1
Substituindo -1 = 1 + 2(-1) -1 = -1 (verdadeiro) na equação (1):
0 = 1 + (-1) 0 = 0 (verdadeiro)
E na equação (3):
(-1,-1,0)
Como todas as equações são verdadeiras para r, o ponto pertence à reta .

Resposta

Dos pontos analisados, (3,1,2) e (-1,-1,0) pertencem à reta r, enquanto (4,1,-1) não está na reta.

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