Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em R^2 :
(-2,1),(1,3),(2,4)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um conjunto de três vetores no espaço bidimensional R^2: (-2,1),(1,3),(2,4). A questão é descobrir se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e usar um pouco de álgebra linear para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se isso não for possível, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Como temos três vetores em um espaço de duas dimensões, já suspeitamos que eles são linearmente dependentes, porque em R^2, no máximo dois vetores podem ser independentes. Mas vamos confirmar isso.

Passo 4

Para verificar, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
a(-2,1) + b(1,3) + c(2,4) = (0,0)
Isso resulta nas equações:
-2a + b + 2c = 0 a + 3b + 4c = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar valores de a, b e c. Se conseguirmos encontrar soluções não triviais (ou seja, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero), então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para b:
b = 2a - 2c
Substituindo na segunda equação:
a + 3(2a - 2c) + 4c = 0 a + 6a - 6c + 4c = 0 7a - 2c = 0 7a = 2c c = 72a

Passo 7

Escolhendo um valor para a, por exemplo, a = 2, então:
c = 72 times 2 = 7
E então:
b = 2 times 2 - 2 times 7 = 4 - 14 = -10
Portanto, temos uma solução não trivial: a = 2, b = -10, c = 7.

Passo 8

Como encontramos uma combinação linear onde a, b, e c não são todos zero que satisfaz a equação, isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores (-2,1),(1,3),(2,4) são linearmente dependentes em R^2.

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x+2, x+1, x^2-1
Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=2-x, 2 x-x^2, 6-5 x+x^2
Mostre que os pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema de equações
l x-y+2=0 x+y+z=0
formam um reta. Explicite uma equação vetorial desta.