Sejam
e
vetores genéricos do
. Para que valores de
a função
é um produto interno sobre o
?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois vetores
e
no espaço
. A função dada é
e queremos descobrir para quais valores de
essa função é um produto interno. Para resolver isso, precisamos entender os requisitos de um produto interno e verificar quais valores de
satisfazem esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno:
- Bilinearidade: A função deve ser linear em cada um dos seus argumentos.
- Simetria:
. - Positividade:
para todo vetor diferente de zero.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Bilinearidade: A função
é claramente linear em ambos os argumentos
e
. Isso porque cada termo é uma multiplicação linear dos componentes dos vetores.
Simetria: Também vemos que
. Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Agora, o ponto crucial é a positividade. Precisamos garantir que
para todo vetor
. Vamos calcular:
Para que isso seja sempre positivo, independentemente dos valores de
e
(desde que
),
deve ser tal que
não anule ou torne negativo o termo
.
Passo 5
Vamos analisar os casos para
:
-
Se
: Então, será sempre positivo, já que ambos os termos são positivos ou zero, e pelo menos um deles será positivo se . -
Se
: A expressão fica , que é positiva, mas não depende de . Isso significa que vetores como com terão , o que não satisfaz a positividade. -
Se
: A expressão pode ser negativa se , violando a positividade.
Resposta
Portanto, a função
é um produto interno sobre
para todos os valores reais de
tais que
.
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Mostre que as equações
descrevem uma reta. Exiba equação vetorial e sistema de equações paramétricas para essa reta.
Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em
:
Seja o plano
. Calcular:
a) para que o ponto
pertença ao plano
b) para que o ponto
pertença ao plano
c) para que o ponto
pertença ao plano
d) para que o ponto
pertença ao plano
e) para que o plano
seja paralelo ao plano
a)
b)
c)
d)
e)
Determine se o conjunto de vetores em
é linearmente independente ou linearmente dependete:
e