Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2. Para que valores de t in R a função lang<= u, v>=x1 y1+t2 y2 é um produto interno sobre o R^2 ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço . A função dada é e queremos descobrir para quais valores de essa função é um produto interno. Para resolver isso, precisamos entender os requisitos de um produto interno e verificar quais valores de satisfazem esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno:
  1. Bilinearidade: A função deve ser linear em cada um dos seus argumentos.
  2. Simetria: .
  3. Positividade: para todo vetor diferente de zero.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Bilinearidade: A função é claramente linear em ambos os argumentos e . Isso porque cada termo é uma multiplicação linear dos componentes dos vetores.
Simetria: Também vemos que . Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Agora, o ponto crucial é a positividade. Precisamos garantir que lang<= u, u rang<= = x1^2 + t x2^2 para todo vetor . Vamos calcular:
Para que isso seja sempre positivo, independentemente dos valores de e (desde que ), deve ser tal que não anule ou torne negativo o termo .

Passo 5

Vamos analisar os casos para :
  1. Se : Então, será sempre positivo, já que ambos os termos são positivos ou zero, e pelo menos um deles será positivo se .
  2. Se : A expressão fica , que é positiva, mas não depende de . Isso significa que vetores como com terão , o que não satisfaz a positividade.
  3. Se : A expressão pode ser negativa se , violando a positividade.

Resposta

Portanto, a função é um produto interno sobre para todos os valores reais de tais que .

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