Determine se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Estamos no campo do Álgebra Linear, mais especificamente trabalhando com subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Olhando pra definição de
, todo vetor tem a terceira coordenada igual a 4. Como 0 não é igual a 4, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Já que o vetor zero não está em
, não precisa nem testar as outras condições. Para ser um subespaço, o conjunto tem que conter o vetor zero e ser fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. Se uma dessas condições falhar, como foi o caso aqui,
não é um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não contém o vetor zero.