Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial: Wé o conjunto de todos os vetores em
em que temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de
por um número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero: O vetor zero é
. Como
, ele está em
. Então, a primeira condição está ok.
Passo 4
2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em
, por exemplo,
e
. A soma deles é
. Como o primeiro componente
, o vetor resultante também está em
. Parece bom até aqui!
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Aqui é onde as coisas apagam. Vamos pegar um vetor em
, digamos
, que claramente está em
porque
. Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar negativo, como
. Temos:
O primeiro componente agora é
, que não satisfaz
. Ou seja,
não está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalares. Por exemplo, ao multiplicar o vetor
por
, obtemos
, que não pertence a
.