Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial: Wé o conjunto de todos os vetores em em que temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero: O vetor zero é . Como , ele está em . Então, a primeira condição está ok.
Passo 4
2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em , por exemplo, e . A soma deles é . Como o primeiro componente , o vetor resultante também está em . Parece bom até aqui!
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Aqui é onde as coisas apagam. Vamos pegar um vetor em , digamos , que claramente está em porque . Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar negativo, como . Temos:
O primeiro componente agora é , que não satisfaz . Ou seja, não está em .
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalares. Por exemplo, ao multiplicar o vetor por , obtemos , que não pertence a .