Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial: Wé o conjunto de todos os vetores em R^3 em que temos W=(a, b, c) in R^3 mid a >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real, o resultado deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero: O vetor zero é . Como , ele está em . Então, a primeira condição está ok.

Passo 4

2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em , por exemplo, e . A soma deles é . Como o primeiro componente , o vetor resultante também está em . Parece bom até aqui!

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Aqui é onde as coisas apagam. Vamos pegar um vetor em -1 cdot v = (-1 cdot 1, -1 cdot 0, -1 cdot 0) = (-1, 0, 0) , digamos , que claramente está em porque . Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar negativo, como . Temos:
O primeiro componente agora é , que não satisfaz . Ou seja, não está em .

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalares. Por exemplo, ao multiplicar o vetor por , obtemos , que não pertence a .

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